Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73708 / 61044
↖ ↑ ↗
← N 12.243391°
E 22.445068°		 ← 298.48 m → N 12.243391°
E 22.447815°		 →
↑
298.42 m
↓
↑
298.42 m
↓
N 12.240708°
E 22.445068°		 ← 298.48 m →
89 072 m²		 N 12.240708°
E 22.447815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562351226806641 y=0.465732574462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562351226806641 × 217)
    floor (0.562351226806641 × 131072)
    floor (73708.5)     		tx = 73708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465732574462891 × 217)
    floor (0.465732574462891 × 131072)
    floor (61044.5)     		ty = 61044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73708 / 61044 ti = "17/73708/61044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73708/61044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73708 ÷ 217
    73708 ÷ 131072     		x = 0.562347412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61044 ÷ 217
    61044 ÷ 131072     		y = 0.465728759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562347412109375 × 2 - 1) × π
    0.12469482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39174034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465728759765625 × 2 - 1) × π
    0.06854248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.215332553093292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39174034} λ = 0.39174034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.215332553093292))-π/2
    2×atan(1.24027428544188)-π/2
    2×0.892241910086357-π/2
    1.78448382017271-1.57079632675     		φ = 0.21368749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39174034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.445068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21368749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.243391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73708 KachelY 61044 0.39174034 0.21368749 22.445068 12.243391
    Oben rechts KachelX + 1 73709 KachelY 61044 0.39178828 0.21368749 22.447815 12.243391
    Unten links KachelX 73708 KachelY + 1 61045 0.39174034 0.21364065 22.445068 12.240708
    Unten rechts KachelX + 1 73709 KachelY + 1 61045 0.39178828 0.21364065 22.447815 12.240708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21368749-0.21364065) × R
    4.68400000000202e-05 × 6371000     		dl = 298.417640000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21368749-0.21364065) × R
    4.68400000000202e-05 × 6371000     		dr = 298.417640000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39174034-0.39178828) × cos(0.21368749) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.977255573249636 × 6371000     		do = 298.479006628699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39174034-0.39178828) × cos(0.21364065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.977265505300017 × 6371000     		du = 298.482040132536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21368749)-sin(0.21364065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977255573249636-0.977265505300017)×R²
    abs(0.39178828-0.39174034)×9.93205038146705e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.93205038146705e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.93205038146705e-06×40589641000000     		ar = 89071.8533894866m²