Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73708 / 60940
↖ ↑ ↗
← N 12.522391°
E 22.445068°		 ← 298.16 m → N 12.522391°
E 22.447815°		 →
↑
298.16 m
↓
↑
298.16 m
↓
N 12.519709°
E 22.445068°		 ← 298.16 m →
88 901 m²		 N 12.519709°
E 22.447815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562351226806641 y=0.464939117431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562351226806641 × 217)
    floor (0.562351226806641 × 131072)
    floor (73708.5)     		tx = 73708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464939117431641 × 217)
    floor (0.464939117431641 × 131072)
    floor (60940.5)     		ty = 60940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73708 / 60940 ti = "17/73708/60940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73708/60940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73708 ÷ 217
    73708 ÷ 131072     		x = 0.562347412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60940 ÷ 217
    60940 ÷ 131072     		y = 0.464935302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562347412109375 × 2 - 1) × π
    0.12469482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39174034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464935302734375 × 2 - 1) × π
    0.07012939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.220317990653778
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39174034} λ = 0.39174034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.220317990653778))-π/2
    2×atan(1.2464730343487)-π/2
    2×0.894676636507826-π/2
    1.78935327301565-1.57079632675     		φ = 0.21855695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39174034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.445068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21855695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.522391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73708 KachelY 60940 0.39174034 0.21855695 22.445068 12.522391
    Oben rechts KachelX + 1 73709 KachelY 60940 0.39178828 0.21855695 22.447815 12.522391
    Unten links KachelX 73708 KachelY + 1 60941 0.39174034 0.21851015 22.445068 12.519709
    Unten rechts KachelX + 1 73709 KachelY + 1 60941 0.39178828 0.21851015 22.447815 12.519709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21855695-0.21851015) × R
    4.68000000000135e-05 × 6371000     		dl = 298.162800000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21855695-0.21851015) × R
    4.68000000000135e-05 × 6371000     		dr = 298.162800000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39174034-0.39178828) × cos(0.21855695) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.976211349377916 × 6371000     		do = 298.160073779953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39174034-0.39178828) × cos(0.21851015) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.976221495537612 × 6371000     		du = 298.163172678286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21855695)-sin(0.21851015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976211349377916-0.976221495537612)×R²
    abs(0.39178828-0.39174034)×1.01461596964114e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01461596964114e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01461596964114e-05×40589641000000     		ar = 88900.7044507794m²