Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73707 / 60939
↖ ↑ ↗
← N 12.525072°
E 22.442322°		 ← 298.09 m → N 12.525072°
E 22.445068°		 →
↑
298.10 m
↓
↑
298.10 m
↓
N 12.522391°
E 22.442322°		 ← 298.10 m →
88 862 m²		 N 12.522391°
E 22.445068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562343597412109 y=0.464931488037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562343597412109 × 217)
    floor (0.562343597412109 × 131072)
    floor (73707.5)     		tx = 73707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464931488037109 × 217)
    floor (0.464931488037109 × 131072)
    floor (60939.5)     		ty = 60939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73707 / 60939 ti = "17/73707/60939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73707/60939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73707 ÷ 217
    73707 ÷ 131072     		x = 0.562339782714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60939 ÷ 217
    60939 ÷ 131072     		y = 0.464927673339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562339782714844 × 2 - 1) × π
    0.124679565429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.39169241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464927673339844 × 2 - 1) × π
    0.0701446533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.220365927553398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39169241} λ = 0.39169241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.220365927553398))-π/2
    2×atan(1.24653278783362)-π/2
    2×0.894700034658971-π/2
    1.78940006931794-1.57079632675     		φ = 0.21860374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39169241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.442322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21860374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.525072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73707 KachelY 60939 0.39169241 0.21860374 22.442322 12.525072
    Oben rechts KachelX + 1 73708 KachelY 60939 0.39174034 0.21860374 22.445068 12.525072
    Unten links KachelX 73707 KachelY + 1 60940 0.39169241 0.21855695 22.442322 12.522391
    Unten rechts KachelX + 1 73708 KachelY + 1 60940 0.39174034 0.21855695 22.445068 12.522391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21860374-0.21855695) × R
    4.6789999999991e-05 × 6371000     		dl = 298.099089999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21860374-0.21855695) × R
    4.6789999999991e-05 × 6371000     		dr = 298.099089999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39169241-0.39174034) × cos(0.21860374) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.97620120324875 × 6371000     		do = 298.094781112663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39169241-0.39174034) × cos(0.21855695) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.976211349377916 × 6371000     		du = 298.097879355262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21860374)-sin(0.21855695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97620120324875-0.976211349377916)×R²
    abs(0.39174034-0.39169241)×1.01461291653893e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01461291653893e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01461291653893e-05×40589641000000     		ar = 88862.24479126m²