Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73706 / 61050
↖ ↑ ↗
← N 12.227287°
E 22.439575°		 ← 298.50 m → N 12.227287°
E 22.442322°		 →
↑
298.48 m
↓
↑
298.48 m
↓
N 12.224602°
E 22.439575°		 ← 298.50 m →
89 096 m²		 N 12.224602°
E 22.442322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562335968017578 y=0.465778350830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562335968017578 × 217)
    floor (0.562335968017578 × 131072)
    floor (73706.5)     		tx = 73706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465778350830078 × 217)
    floor (0.465778350830078 × 131072)
    floor (61050.5)     		ty = 61050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73706 / 61050 ti = "17/73706/61050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73706/61050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73706 ÷ 217
    73706 ÷ 131072     		x = 0.562332153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61050 ÷ 217
    61050 ÷ 131072     		y = 0.465774536132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562332153320312 × 2 - 1) × π
    0.124664306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39164447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465774536132812 × 2 - 1) × π
    0.068450927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.215044931695572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39164447} λ = 0.39164447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.215044931695572))-π/2
    2×atan(1.23991760731494)-π/2
    2×0.892101365995198-π/2
    1.7842027319904-1.57079632675     		φ = 0.21340641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39164447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.439575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21340641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.227287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73706 KachelY 61050 0.39164447 0.21340641 22.439575 12.227287
    Oben rechts KachelX + 1 73707 KachelY 61050 0.39169241 0.21340641 22.442322 12.227287
    Unten links KachelX 73706 KachelY + 1 61051 0.39164447 0.21335956 22.439575 12.224602
    Unten rechts KachelX + 1 73707 KachelY + 1 61051 0.39169241 0.21335956 22.442322 12.224602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21340641-0.21335956) × R
    4.68499999999872e-05 × 6371000     		dl = 298.481349999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21340641-0.21335956) × R
    4.68499999999872e-05 × 6371000     		dr = 298.481349999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39164447-0.39169241) × cos(0.21340641) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.977315141861503 × 6371000     		do = 298.497200416059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39164447-0.39169241) × cos(0.21335956) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.977325063162533 × 6371000     		du = 298.500230636768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21340641)-sin(0.21335956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977315141861503-0.977325063162533)×R²
    abs(0.39169241-0.39164447)×9.92130102972499e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.92130102972499e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.92130102972499e-06×40589641000000     		ar = 89096.2995998648m²