Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73706 / 60998
↖ ↑ ↗
← N 12.366832°
E 22.439575°		 ← 298.34 m → N 12.366832°
E 22.442322°		 →
↑
298.29 m
↓
↑
298.29 m
↓
N 12.364149°
E 22.439575°		 ← 298.34 m →
88 992 m²		 N 12.364149°
E 22.442322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562335968017578 y=0.465381622314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562335968017578 × 217)
    floor (0.562335968017578 × 131072)
    floor (73706.5)     		tx = 73706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465381622314453 × 217)
    floor (0.465381622314453 × 131072)
    floor (60998.5)     		ty = 60998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73706 / 60998 ti = "17/73706/60998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73706/60998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73706 ÷ 217
    73706 ÷ 131072     		x = 0.562332153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60998 ÷ 217
    60998 ÷ 131072     		y = 0.465377807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562332153320312 × 2 - 1) × π
    0.124664306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39164447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465377807617188 × 2 - 1) × π
    0.069244384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.217537650475815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39164447} λ = 0.39164447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.217537650475815))-π/2
    2×atan(1.24301222862857)-π/2
    2×0.893319129218925-π/2
    1.78663825843785-1.57079632675     		φ = 0.21584193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39164447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.439575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21584193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.366832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73706 KachelY 60998 0.39164447 0.21584193 22.439575 12.366832
    Oben rechts KachelX + 1 73707 KachelY 60998 0.39169241 0.21584193 22.442322 12.366832
    Unten links KachelX 73706 KachelY + 1 60999 0.39164447 0.21579511 22.439575 12.364149
    Unten rechts KachelX + 1 73707 KachelY + 1 60999 0.39169241 0.21579511 22.442322 12.364149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21584193-0.21579511) × R
    4.68199999999752e-05 × 6371000     		dl = 298.290219999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21584193-0.21579511) × R
    4.68199999999752e-05 × 6371000     		dr = 298.290219999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39164447-0.39169241) × cos(0.21584193) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.976796424364829 × 6371000     		do = 298.338770740786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39164447-0.39169241) × cos(0.21579511) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.976806450728841 × 6371000     		du = 298.341833050434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21584193)-sin(0.21579511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976796424364829-0.976806450728841)×R²
    abs(0.39169241-0.39164447)×1.0026364012039e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0026364012039e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0026364012039e-05×40589641000000     		ar = 88991.994303515m²