Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73705 / 61048
↖ ↑ ↗
← N 12.232655°
E 22.436828°		 ← 298.49 m → N 12.232655°
E 22.439575°		 →
↑
298.48 m
↓
↑
298.48 m
↓
N 12.229970°
E 22.436828°		 ← 298.49 m →
89 094 m²		 N 12.229970°
E 22.439575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562328338623047 y=0.465763092041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562328338623047 × 217)
    floor (0.562328338623047 × 131072)
    floor (73705.5)     		tx = 73705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465763092041016 × 217)
    floor (0.465763092041016 × 131072)
    floor (61048.5)     		ty = 61048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73705 / 61048 ti = "17/73705/61048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73705/61048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73705 ÷ 217
    73705 ÷ 131072     		x = 0.562324523925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61048 ÷ 217
    61048 ÷ 131072     		y = 0.46575927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562324523925781 × 2 - 1) × π
    0.124649047851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.39159653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46575927734375 × 2 - 1) × π
    0.0684814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.215140805494812
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39159653} λ = 0.39159653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.215140805494812))-π/2
    2×atan(1.24003648862541)-π/2
    2×0.892148214977391-π/2
    1.78429642995478-1.57079632675     		φ = 0.21350010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39159653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.436828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21350010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.232655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73705 KachelY 61048 0.39159653 0.21350010 22.436828 12.232655
    Oben rechts KachelX + 1 73706 KachelY 61048 0.39164447 0.21350010 22.439575 12.232655
    Unten links KachelX 73705 KachelY + 1 61049 0.39159653 0.21345325 22.436828 12.229970
    Unten rechts KachelX + 1 73706 KachelY + 1 61049 0.39164447 0.21345325 22.439575 12.229970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21350010-0.21345325) × R
    4.68499999999872e-05 × 6371000     		dl = 298.481349999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21350010-0.21345325) × R
    4.68499999999872e-05 × 6371000     		dr = 298.481349999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39159653-0.39164447) × cos(0.21350010) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.977295294942891 × 6371000     		do = 298.491138656601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39159653-0.39164447) × cos(0.21345325) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.977305220533703 × 6371000     		du = 298.494170187519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21350010)-sin(0.21345325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977295294942891-0.977305220533703)×R²
    abs(0.39164447-0.39159653)×9.92559081203215e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.92559081203215e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.92559081203215e-06×40589641000000     		ar = 89094.4904732411m²