Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73704 / 60984
↖ ↑ ↗
← N 12.404389°
E 22.434082°		 ← 298.23 m → N 12.404389°
E 22.436828°		 →
↑
298.29 m
↓
↑
298.29 m
↓
N 12.401706°
E 22.434082°		 ← 298.24 m →
88 961 m²		 N 12.401706°
E 22.436828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562320709228516 y=0.465274810791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562320709228516 × 217)
    floor (0.562320709228516 × 131072)
    floor (73704.5)     		tx = 73704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465274810791016 × 217)
    floor (0.465274810791016 × 131072)
    floor (60984.5)     		ty = 60984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73704 / 60984 ti = "17/73704/60984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73704/60984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73704 ÷ 217
    73704 ÷ 131072     		x = 0.56231689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60984 ÷ 217
    60984 ÷ 131072     		y = 0.46527099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56231689453125 × 2 - 1) × π
    0.1246337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39154860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46527099609375 × 2 - 1) × π
    0.0694580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.218208767070496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39154860} λ = 0.39154860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.218208767070496))-π/2
    2×atan(1.24384671475002)-π/2
    2×0.893646877785639-π/2
    1.78729375557128-1.57079632675     		φ = 0.21649743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39154860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.434082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21649743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.404389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73704 KachelY 60984 0.39154860 0.21649743 22.434082 12.404389
    Oben rechts KachelX + 1 73705 KachelY 60984 0.39159653 0.21649743 22.436828 12.404389
    Unten links KachelX 73704 KachelY + 1 60985 0.39154860 0.21645061 22.434082 12.401706
    Unten rechts KachelX + 1 73705 KachelY + 1 60985 0.39159653 0.21645061 22.436828 12.401706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21649743-0.21645061) × R
    4.6820000000003e-05 × 6371000     		dl = 298.290220000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21649743-0.21645061) × R
    4.6820000000003e-05 × 6371000     		dr = 298.290220000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39154860-0.39159653) × cos(0.21649743) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.976655826151473 × 6371000     		do = 298.233605684778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39154860-0.39159653) × cos(0.21645061) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.976665882491863 × 6371000     		du = 298.236676509294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21649743)-sin(0.21645061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976655826151473-0.976665882491863)×R²
    abs(0.39159653-0.39154860)×1.00563403901965e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.00563403901965e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.00563403901965e-05×40589641000000     		ar = 88960.6258658091m²