Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7370 / 8762
↖ ↑ ↗
← N 78.567023°
W139.515381°		 ← 121.07 m → N 78.567023°
W139.509888°		 →
↑
121.05 m
↓
↑
121.05 m
↓
N 78.565935°
W139.515381°		 ← 121.08 m →
14 656 m²		 N 78.565935°
W139.509888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.112464904785156 y=0.133705139160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.112464904785156 × 216)
    floor (0.112464904785156 × 65536)
    floor (7370.5)     		tx = 7370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133705139160156 × 216)
    floor (0.133705139160156 × 65536)
    floor (8762.5)     		ty = 8762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7370 / 8762 ti = "16/7370/8762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7370/8762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7370 ÷ 216
    7370 ÷ 65536     		x = 0.112457275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8762 ÷ 216
    8762 ÷ 65536     		y = 0.133697509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.112457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.77508544921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.43500275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133697509765625 × 2 - 1) × π
    0.73260498046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.30154642455814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.43500275} λ = -2.43500275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30154642455814))-π/2
    2×atan(9.9896187079344)-π/2
    2×1.47102478347773-π/2
    2.94204956695547-1.57079632675     		φ = 1.37125324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.43500275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.515381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37125324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.567023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7370 KachelY 8762 -2.43500275 1.37125324 -139.515381 78.567023
    Oben rechts KachelX + 1 7371 KachelY 8762 -2.43490688 1.37125324 -139.509888 78.567023
    Unten links KachelX 7370 KachelY + 1 8763 -2.43500275 1.37123424 -139.515381 78.565935
    Unten rechts KachelX + 1 7371 KachelY + 1 8763 -2.43490688 1.37123424 -139.509888 78.565935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37125324-1.37123424) × R
    1.89999999999912e-05 × 6371000     		dl = 121.048999999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37125324-1.37123424) × R
    1.89999999999912e-05 × 6371000     		dr = 121.048999999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.43500275--2.43490688) × cos(1.37125324) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.198221504711281 × 6371000     		do = 121.071270828645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.43500275--2.43490688) × cos(1.37123424) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.198240127663254 × 6371000     		du = 121.082645499952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37125324)-sin(1.37123424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198221504711281-0.198240127663254)×R²
    abs(-2.43490688--2.43500275)×1.86229519731906e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.86229519731906e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.86229519731906e-05×40589641000000     		ar = 14656.2447093726m²