Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 7370 / 4824
↖ ↑ ↗
← N 77.561042°
W 99.030762°		 ← 263.13 m → N 77.561042°
W 99.019776°		 →
↑
263.19 m
↓
↑
263.19 m
↓
N 77.558675°
W 99.030762°		 ← 263.18 m →
69 258 m²		 N 77.558675°
W 99.019776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224929809570312 y=0.147232055664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224929809570312 × 215)
    floor (0.224929809570312 × 32768)
    floor (7370.5)     		tx = 7370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147232055664062 × 215)
    floor (0.147232055664062 × 32768)
    floor (4824.5)     		ty = 4824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7370 / 4824 ti = "15/7370/4824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7370/4824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7370 ÷ 215
    7370 ÷ 32768     		x = 0.22491455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4824 ÷ 215
    4824 ÷ 32768     		y = 0.147216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22491455078125 × 2 - 1) × π
    -0.5501708984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.72841285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147216796875 × 2 - 1) × π
    0.70556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2166022384314
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72841285} λ = -1.72841285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2166022384314))-π/2
    2×atan(9.17609963909427)-π/2
    2×1.4622459381396-π/2
    2.9244918762792-1.57079632675     		φ = 1.35369555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72841285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.030762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35369555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.561042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7370 KachelY 4824 -1.72841285 1.35369555 -99.030762 77.561042
    Oben rechts KachelX + 1 7371 KachelY 4824 -1.72822111 1.35369555 -99.019776 77.561042
    Unten links KachelX 7370 KachelY + 1 4825 -1.72841285 1.35365424 -99.030762 77.558675
    Unten rechts KachelX + 1 7371 KachelY + 1 4825 -1.72822111 1.35365424 -99.019776 77.558675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35369555-1.35365424) × R
    4.13100000000721e-05 × 6371000     		dl = 263.186010000459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35369555-1.35365424) × R
    4.13100000000721e-05 × 6371000     		dr = 263.186010000459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72841285--1.72822111) × cos(1.35369555) × R
    0.000191739999999996 × 0.215399365350259 × 6371000     		do = 263.126596043394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72841285--1.72822111) × cos(1.35365424) × R
    0.000191739999999996 × 0.215439705457309 × 6371000     		du = 263.175874531447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35369555)-sin(1.35365424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215399365350259-0.215439705457309)×R²
    abs(-1.72822111--1.72841285)×4.03401070495357e-05×R²
    0.000191739999999996×4.03401070495357e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.03401070495357e-05×40589641000000     		ar = 69257.7236522522m²