Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 737 / 865
↖ ↑ ↗
← N 26.902477°
W 50.449219°		 ← 17.431 km → N 26.902477°
W 50.273437°		 →
↑
17.443 km
↓
↑
17.443 km
↓
N 26.745610°
W 50.449219°		 ← 17.455 km →
304.250 km²		 N 26.745610°
W 50.273437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360107421875 y=0.422607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360107421875 × 211)
    floor (0.360107421875 × 2048)
    floor (737.5)     		tx = 737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422607421875 × 211)
    floor (0.422607421875 × 2048)
    floor (865.5)     		ty = 865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 737 / 865 ti = "11/737/865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/737/865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 737 ÷ 211
    737 ÷ 2048     		x = 0.35986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 865 ÷ 211
    865 ÷ 2048     		y = 0.42236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35986328125 × 2 - 1) × π
    -0.2802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88050497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42236328125 × 2 - 1) × π
    0.1552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.487805890533691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88050497} λ = -0.88050497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.487805890533691))-π/2
    2×atan(1.62873866569323)-π/2
    2×1.02016656269486-π/2
    2.04033312538972-1.57079632675     		φ = 0.46953680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88050497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46953680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.902477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 737 KachelY 865 -0.88050497 0.46953680 -50.449219 26.902477
    Oben rechts KachelX + 1 738 KachelY 865 -0.87743701 0.46953680 -50.273437 26.902477
    Unten links KachelX 737 KachelY + 1 866 -0.88050497 0.46679896 -50.449219 26.745610
    Unten rechts KachelX + 1 738 KachelY + 1 866 -0.87743701 0.46679896 -50.273437 26.745610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46953680-0.46679896) × R
    0.00273783999999999 × 6371000     		dl = 17442.7786399999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46953680-0.46679896) × R
    0.00273783999999999 × 6371000     		dr = 17442.7786399999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88050497--0.87743701) × cos(0.46953680) × R
    0.00306796000000009 × 0.891777969470339 × 6371000     		do = 17430.6682559471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88050497--0.87743701) × cos(0.46679896) × R
    0.00306796000000009 × 0.893013425041148 × 6371000     		du = 17454.8164373745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46953680)-sin(0.46679896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891777969470339-0.893013425041148)×R²
    abs(-0.87743701--0.88050497)×0.00123545557080951×R²
    0.00306796000000009×0.00123545557080951×6371000²
    0.00306796000000009×0.00123545557080951×40589641000000     		ar = 304250083.676382m²