Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73699 / 61045
↖ ↑ ↗
← N 12.240708°
E 22.420349°		 ← 298.48 m → N 12.240708°
E 22.423096°		 →
↑
298.48 m
↓
↑
298.48 m
↓
N 12.238023°
E 22.420349°		 ← 298.49 m →
89 092 m²		 N 12.238023°
E 22.423096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562282562255859 y=0.465740203857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562282562255859 × 217)
    floor (0.562282562255859 × 131072)
    floor (73699.5)     		tx = 73699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465740203857422 × 217)
    floor (0.465740203857422 × 131072)
    floor (61045.5)     		ty = 61045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73699 / 61045 ti = "17/73699/61045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73699/61045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73699 ÷ 217
    73699 ÷ 131072     		x = 0.562278747558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61045 ÷ 217
    61045 ÷ 131072     		y = 0.465736389160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562278747558594 × 2 - 1) × π
    0.124557495117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.39130891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465736389160156 × 2 - 1) × π
    0.0685272216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.215284616193672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39130891} λ = 0.39130891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.215284616193672))-π/2
    2×atan(1.24021483196298)-π/2
    2×0.892218486666166-π/2
    1.78443697333233-1.57079632675     		φ = 0.21364065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39130891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.420349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21364065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.240708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73699 KachelY 61045 0.39130891 0.21364065 22.420349 12.240708
    Oben rechts KachelX + 1 73700 KachelY 61045 0.39135685 0.21364065 22.423096 12.240708
    Unten links KachelX 73699 KachelY + 1 61046 0.39130891 0.21359380 22.420349 12.238023
    Unten rechts KachelX + 1 73700 KachelY + 1 61046 0.39135685 0.21359380 22.423096 12.238023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21364065-0.21359380) × R
    4.68499999999872e-05 × 6371000     		dl = 298.481349999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21364065-0.21359380) × R
    4.68499999999872e-05 × 6371000     		dr = 298.481349999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39130891-0.39135685) × cos(0.21364065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.977265505300017 × 6371000     		do = 298.482040132536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39130891-0.39135685) × cos(0.21359380) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.977275437326026 × 6371000     		du = 298.48507362893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21364065)-sin(0.21359380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977265505300017-0.977275437326026)×R²
    abs(0.39135685-0.39130891)×9.93202600896304e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.93202600896304e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.93202600896304e-06×40589641000000     		ar = 89091.7750268747m²