Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73694 / 73630
↖ ↑ ↗
← S 21.693161°
E 22.406616°		 ← 283.74 m → S 21.693161°
E 22.409363°		 →
↑
283.76 m
↓
↑
283.76 m
↓
S 21.695713°
E 22.406616°		 ← 283.73 m →
80 513 m²		 S 21.695713°
E 22.409363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562244415283203 y=0.561756134033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562244415283203 × 217)
    floor (0.562244415283203 × 131072)
    floor (73694.5)     		tx = 73694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561756134033203 × 217)
    floor (0.561756134033203 × 131072)
    floor (73630.5)     		ty = 73630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73694 / 73630 ti = "17/73694/73630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73694/73630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73694 ÷ 217
    73694 ÷ 131072     		x = 0.562240600585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73630 ÷ 217
    73630 ÷ 131072     		y = 0.561752319335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562240600585938 × 2 - 1) × π
    0.124481201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39106923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561752319335938 × 2 - 1) × π
    -0.123504638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.388001265524735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39106923} λ = 0.39106923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.388001265524735))-π/2
    2×atan(0.678411484717047)-π/2
    2×0.596089617017332-π/2
    1.19217923403466-1.57079632675     		φ = -0.37861709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39106923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.406616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37861709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.693161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73694 KachelY 73630 0.39106923 -0.37861709 22.406616 -21.693161
    Oben rechts KachelX + 1 73695 KachelY 73630 0.39111716 -0.37861709 22.409363 -21.693161
    Unten links KachelX 73694 KachelY + 1 73631 0.39106923 -0.37866163 22.406616 -21.695713
    Unten rechts KachelX + 1 73695 KachelY + 1 73631 0.39111716 -0.37866163 22.409363 -21.695713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37861709--0.37866163) × R
    4.45400000000373e-05 × 6371000     		dl = 283.764340000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37861709--0.37866163) × R
    4.45400000000373e-05 × 6371000     		dr = 283.764340000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39106923-0.39111716) × cos(-0.37861709) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.929176697031781 × 6371000     		do = 283.735282434493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39106923-0.39111716) × cos(-0.37866163) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.929160232529125 × 6371000     		du = 283.730254800539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37861709)-sin(-0.37866163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929176697031781-0.929160232529125)×R²
    abs(0.39111716-0.39106923)×1.64645026555776e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64645026555776e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64645026555776e-05×40589641000000     		ar = 80513.2418364358m²