Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7368 / 8760
↖ ↑ ↗
← N 78.569201°
W139.526367°		 ← 121.05 m → N 78.569201°
W139.520874°		 →
↑
121.11 m
↓
↑
121.11 m
↓
N 78.568112°
W139.526367°		 ← 121.06 m →
14 661 m²		 N 78.568112°
W139.520874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.112434387207031 y=0.133674621582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.112434387207031 × 216)
    floor (0.112434387207031 × 65536)
    floor (7368.5)     		tx = 7368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133674621582031 × 216)
    floor (0.133674621582031 × 65536)
    floor (8760.5)     		ty = 8760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7368 / 8760 ti = "16/7368/8760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7368/8760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7368 ÷ 216
    7368 ÷ 65536     		x = 0.1124267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8760 ÷ 216
    8760 ÷ 65536     		y = 0.1336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1124267578125 × 2 - 1) × π
    -0.775146484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.43519450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1336669921875 × 2 - 1) × π
    0.732666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30173817215662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.43519450} λ = -2.43519450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30173817215662))-π/2
    2×atan(9.99153437698799)-π/2
    2×1.47104378594072-π/2
    2.94208757188143-1.57079632675     		φ = 1.37129125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.43519450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.526367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37129125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.569201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7368 KachelY 8760 -2.43519450 1.37129125 -139.526367 78.569201
    Oben rechts KachelX + 1 7369 KachelY 8760 -2.43509863 1.37129125 -139.520874 78.569201
    Unten links KachelX 7368 KachelY + 1 8761 -2.43519450 1.37127224 -139.526367 78.568112
    Unten rechts KachelX + 1 7369 KachelY + 1 8761 -2.43509863 1.37127224 -139.520874 78.568112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37129125-1.37127224) × R
    1.90100000001525e-05 × 6371000     		dl = 121.112710000972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37129125-1.37127224) × R
    1.90100000001525e-05 × 6371000     		dr = 121.112710000972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.43519450--2.43509863) × cos(1.37129125) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.198184248791019 × 6371000     		do = 121.048515368189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.43519450--2.43509863) × cos(1.37127224) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.19820288168775 × 6371000     		du = 121.059896113632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37129125)-sin(1.37127224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198184248791019-0.19820288168775)×R²
    abs(-2.43509863--2.43519450)×1.86328967304028e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.86328967304028e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.86328967304028e-05×40589641000000     		ar = 14661.2029147904m²