Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7368 / 4823
↖ ↑ ↗
← N 77.563408°
W 99.052734°		 ← 263.09 m → N 77.563408°
W 99.041748°		 →
↑
263.12 m
↓
↑
263.12 m
↓
N 77.561042°
W 99.052734°		 ← 263.14 m →
69 232 m²		 N 77.561042°
W 99.041748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224868774414062 y=0.147201538085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224868774414062 × 215)
    floor (0.224868774414062 × 32768)
    floor (7368.5)     		tx = 7368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147201538085938 × 215)
    floor (0.147201538085938 × 32768)
    floor (4823.5)     		ty = 4823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7368 / 4823 ti = "15/7368/4823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7368/4823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7368 ÷ 215
    7368 ÷ 32768     		x = 0.224853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4823 ÷ 215
    4823 ÷ 32768     		y = 0.147186279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.224853515625 × 2 - 1) × π
    -0.55029296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.72879635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147186279296875 × 2 - 1) × π
    0.70562744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21679398602988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72879635} λ = -1.72879635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21679398602988))-π/2
    2×atan(9.17785930286375)-π/2
    2×1.46226658736184-π/2
    2.92453317472369-1.57079632675     		φ = 1.35373685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72879635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.052734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35373685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.563408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7368 KachelY 4823 -1.72879635 1.35373685 -99.052734 77.563408
    Oben rechts KachelX + 1 7369 KachelY 4823 -1.72860460 1.35373685 -99.041748 77.563408
    Unten links KachelX 7368 KachelY + 1 4824 -1.72879635 1.35369555 -99.052734 77.561042
    Unten rechts KachelX + 1 7369 KachelY + 1 4824 -1.72860460 1.35369555 -99.041748 77.561042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35373685-1.35369555) × R
    4.12999999999109e-05 × 6371000     		dl = 263.122299999432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35373685-1.35369555) × R
    4.12999999999109e-05 × 6371000     		dr = 263.122299999432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72879635--1.72860460) × cos(1.35373685) × R
    0.000191750000000157 × 0.215359034640977 × 6371000     		do = 263.091049559742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72879635--1.72860460) × cos(1.35369555) × R
    0.000191750000000157 × 0.215399365350259 × 6371000     		du = 263.140319137182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35373685)-sin(1.35369555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215359034640977-0.215399365350259)×R²
    abs(-1.72860460--1.72879635)×4.03307092824712e-05×R²
    0.000191750000000157×4.03307092824712e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.03307092824712e-05×40589641000000     		ar = 69231.6040412747m²