Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73678 / 73646
↖ ↑ ↗
← S 21.733989°
E 22.362671°		 ← 283.65 m → S 21.733989°
E 22.365417°		 →
↑
283.70 m
↓
↑
283.70 m
↓
S 21.736540°
E 22.362671°		 ← 283.65 m →
80 472 m²		 S 21.736540°
E 22.365417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562122344970703 y=0.561878204345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562122344970703 × 217)
    floor (0.562122344970703 × 131072)
    floor (73678.5)     		tx = 73678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561878204345703 × 217)
    floor (0.561878204345703 × 131072)
    floor (73646.5)     		ty = 73646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73678 / 73646 ti = "17/73678/73646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73678/73646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73678 ÷ 217
    73678 ÷ 131072     		x = 0.562118530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73646 ÷ 217
    73646 ÷ 131072     		y = 0.561874389648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562118530273438 × 2 - 1) × π
    0.124237060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39030224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561874389648438 × 2 - 1) × π
    -0.123748779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.388768255918655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39030224} λ = 0.39030224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.388768255918655))-π/2
    2×atan(0.677891349120145)-π/2
    2×0.595733332754396-π/2
    1.19146666550879-1.57079632675     		φ = -0.37932966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39030224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.362671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37932966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.733989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73678 KachelY 73646 0.39030224 -0.37932966 22.362671 -21.733989
    Oben rechts KachelX + 1 73679 KachelY 73646 0.39035017 -0.37932966 22.365417 -21.733989
    Unten links KachelX 73678 KachelY + 1 73647 0.39030224 -0.37937419 22.362671 -21.736540
    Unten rechts KachelX + 1 73679 KachelY + 1 73647 0.39035017 -0.37937419 22.365417 -21.736540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37932966--0.37937419) × R
    4.45299999999871e-05 × 6371000     		dl = 283.700629999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37932966--0.37937419) × R
    4.45299999999871e-05 × 6371000     		dr = 283.700629999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39030224-0.39035017) × cos(-0.37932966) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.928913069734982 × 6371000     		do = 283.654780667651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39030224-0.39035017) × cos(-0.37937419) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.928896579450075 × 6371000     		du = 283.649745160776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37932966)-sin(-0.37937419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928913069734982-0.928896579450075)×R²
    abs(0.39035017-0.39030224)×1.64902849066895e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.64902849066895e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.64902849066895e-05×40589641000000     		ar = 80472.3257029287m²