Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73672 / 61000
↖ ↑ ↗
← N 12.361466°
E 22.346192°		 ← 298.28 m → N 12.361466°
E 22.348938°		 →
↑
298.29 m
↓
↑
298.29 m
↓
N 12.358783°
E 22.346192°		 ← 298.29 m →
88 975 m²		 N 12.358783°
E 22.348938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562076568603516 y=0.465396881103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562076568603516 × 217)
    floor (0.562076568603516 × 131072)
    floor (73672.5)     		tx = 73672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465396881103516 × 217)
    floor (0.465396881103516 × 131072)
    floor (61000.5)     		ty = 61000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73672 / 61000 ti = "17/73672/61000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73672/61000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73672 ÷ 217
    73672 ÷ 131072     		x = 0.56207275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61000 ÷ 217
    61000 ÷ 131072     		y = 0.46539306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56207275390625 × 2 - 1) × π
    0.1241455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39001462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46539306640625 × 2 - 1) × π
    0.0692138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.217441776676575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39001462} λ = 0.39001462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.217441776676575))-π/2
    2×atan(1.24289306203628)-π/2
    2×0.893272304146132-π/2
    1.78654460829226-1.57079632675     		φ = 0.21574828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39001462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.346192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21574828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.361466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73672 KachelY 61000 0.39001462 0.21574828 22.346192 12.361466
    Oben rechts KachelX + 1 73673 KachelY 61000 0.39006255 0.21574828 22.348938 12.361466
    Unten links KachelX 73672 KachelY + 1 61001 0.39001462 0.21570146 22.346192 12.358783
    Unten rechts KachelX + 1 73673 KachelY + 1 61001 0.39006255 0.21570146 22.348938 12.358783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21574828-0.21570146) × R
    4.68199999999752e-05 × 6371000     		dl = 298.290219999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21574828-0.21570146) × R
    4.68199999999752e-05 × 6371000     		dr = 298.290219999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39001462-0.39006255) × cos(0.21574828) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.976816477092368 × 6371000     		do = 298.282662382557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39001462-0.39006255) × cos(0.21570146) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.976826499173362 × 6371000     		du = 298.285722745554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21574828)-sin(0.21570146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976816477092368-0.976826499173362)×R²
    abs(0.39006255-0.39001462)×1.00220809937657e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.00220809937657e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.00220809937657e-05×40589641000000     		ar = 88975.2574386851m²