Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73660 / 61020
↖ ↑ ↗
← N 12.307802°
E 22.313232°		 ← 298.41 m → N 12.307802°
E 22.315979°		 →
↑
298.35 m
↓
↑
298.35 m
↓
N 12.305119°
E 22.313232°		 ← 298.41 m →
89 031 m²		 N 12.305119°
E 22.315979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561985015869141 y=0.465549468994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561985015869141 × 217)
    floor (0.561985015869141 × 131072)
    floor (73660.5)     		tx = 73660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465549468994141 × 217)
    floor (0.465549468994141 × 131072)
    floor (61020.5)     		ty = 61020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73660 / 61020 ti = "17/73660/61020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73660/61020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73660 ÷ 217
    73660 ÷ 131072     		x = 0.561981201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61020 ÷ 217
    61020 ÷ 131072     		y = 0.465545654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561981201171875 × 2 - 1) × π
    0.12396240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38943937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465545654296875 × 2 - 1) × π
    0.06890869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.216483038684174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38943937} λ = 0.38943937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.216483038684174))-π/2
    2×atan(1.24170202427502)-π/2
    2×0.892804000623786-π/2
    1.78560800124757-1.57079632675     		φ = 0.21481167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38943937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.313232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21481167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.307802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73660 KachelY 61020 0.38943937 0.21481167 22.313232 12.307802
    Oben rechts KachelX + 1 73661 KachelY 61020 0.38948731 0.21481167 22.315979 12.307802
    Unten links KachelX 73660 KachelY + 1 61021 0.38943937 0.21476484 22.313232 12.305119
    Unten rechts KachelX + 1 73661 KachelY + 1 61021 0.38948731 0.21476484 22.315979 12.305119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21481167-0.21476484) × R
    4.68299999999977e-05 × 6371000     		dl = 298.353929999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21481167-0.21476484) × R
    4.68299999999977e-05 × 6371000     		dr = 298.353929999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38943937-0.38948731) × cos(0.21481167) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.977016556602005 × 6371000     		do = 298.406004792224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38943937-0.38948731) × cos(0.21476484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.977026537974132 × 6371000     		du = 298.409053360192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21481167)-sin(0.21476484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977016556602005-0.977026537974132)×R²
    abs(0.38948731-0.38943937)×9.98137212659955e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.98137212659955e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.98137212659955e-06×40589641000000     		ar = 89031.059057741m²