Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73652 / 61008
↖ ↑ ↗
← N 12.340002°
E 22.291260°		 ← 298.31 m → N 12.340002°
E 22.294006°		 →
↑
298.35 m
↓
↑
298.35 m
↓
N 12.337319°
E 22.291260°		 ← 298.31 m →
89 002 m²		 N 12.337319°
E 22.294006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561923980712891 y=0.465457916259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561923980712891 × 217)
    floor (0.561923980712891 × 131072)
    floor (73652.5)     		tx = 73652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465457916259766 × 217)
    floor (0.465457916259766 × 131072)
    floor (61008.5)     		ty = 61008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73652 / 61008 ti = "17/73652/61008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73652/61008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73652 ÷ 217
    73652 ÷ 131072     		x = 0.561920166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61008 ÷ 217
    61008 ÷ 131072     		y = 0.4654541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561920166015625 × 2 - 1) × π
    0.12384033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.38905588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4654541015625 × 2 - 1) × π
    0.069091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.217058281479614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38905588} λ = 0.38905588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.217058281479614))-π/2
    2×atan(1.24241650990022)-π/2
    2×0.893084994248152-π/2
    1.7861699884963-1.57079632675     		φ = 0.21537366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38905588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.291260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21537366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.340002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73652 KachelY 61008 0.38905588 0.21537366 22.291260 12.340002
    Oben rechts KachelX + 1 73653 KachelY 61008 0.38910381 0.21537366 22.294006 12.340002
    Unten links KachelX 73652 KachelY + 1 61009 0.38905588 0.21532683 22.291260 12.337319
    Unten rechts KachelX + 1 73653 KachelY + 1 61009 0.38910381 0.21532683 22.294006 12.337319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21537366-0.21532683) × R
    4.68299999999977e-05 × 6371000     		dl = 298.353929999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21537366-0.21532683) × R
    4.68299999999977e-05 × 6371000     		dr = 298.353929999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38905588-0.38910381) × cos(0.21537366) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.97689660660506 × 6371000     		do = 298.30713089287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38905588-0.38910381) × cos(0.21532683) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.976906613688854 × 6371000     		du = 298.310186676291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21537366)-sin(0.21532683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97689660660506-0.976906613688854)×R²
    abs(0.38910381-0.38905588)×1.00070837940613e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.00070837940613e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.00070837940613e-05×40589641000000     		ar = 89001.5607176928m²