Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7365 / 5308
↖ ↑ ↗
← N 76.362262°
W 99.085693°		 ← 288.04 m → N 76.362262°
W 99.074707°		 →
↑
288.03 m
↓
↑
288.03 m
↓
N 76.359671°
W 99.085693°		 ← 288.09 m →
82 973 m²		 N 76.359671°
W 99.074707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224777221679688 y=0.162002563476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224777221679688 × 215)
    floor (0.224777221679688 × 32768)
    floor (7365.5)     		tx = 7365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162002563476562 × 215)
    floor (0.162002563476562 × 32768)
    floor (5308.5)     		ty = 5308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7365 / 5308 ti = "15/7365/5308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7365/5308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7365 ÷ 215
    7365 ÷ 32768     		x = 0.224761962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5308 ÷ 215
    5308 ÷ 32768     		y = 0.1619873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.224761962890625 × 2 - 1) × π
    -0.55047607421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.72937159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1619873046875 × 2 - 1) × π
    0.676025390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.12379640076697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72937159} λ = -1.72937159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12379640076697))-π/2
    2×atan(8.36282593740351)-π/2
    2×1.45178460988932-π/2
    2.90356921977864-1.57079632675     		φ = 1.33277289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72937159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.085693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33277289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.362262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7365 KachelY 5308 -1.72937159 1.33277289 -99.085693 76.362262
    Oben rechts KachelX + 1 7366 KachelY 5308 -1.72917984 1.33277289 -99.074707 76.362262
    Unten links KachelX 7365 KachelY + 1 5309 -1.72937159 1.33272768 -99.085693 76.359671
    Unten rechts KachelX + 1 7366 KachelY + 1 5309 -1.72917984 1.33272768 -99.074707 76.359671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33277289-1.33272768) × R
    4.52099999999067e-05 × 6371000     		dl = 288.032909999406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33277289-1.33272768) × R
    4.52099999999067e-05 × 6371000     		dr = 288.032909999406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72937159--1.72917984) × cos(1.33277289) × R
    0.000191749999999935 × 0.235782252448032 × 6371000     		do = 288.040854043826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72937159--1.72917984) × cos(1.33272768) × R
    0.000191749999999935 × 0.235826187552308 × 6371000     		du = 288.094526891663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33277289)-sin(1.33272768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235782252448032-0.235826187552308)×R²
    abs(-1.72917984--1.72937159)×4.39351042764435e-05×R²
    0.000191749999999935×4.39351042764435e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.39351042764435e-05×40589641000000     		ar = 82972.9751761079m²