Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7365 / 3758
↖ ↑ ↗
← N 69.302794°
W 18.171387°		 ← 863.53 m → N 69.302794°
W 18.149414°		 →
↑
863.72 m
↓
↑
863.72 m
↓
N 69.295027°
W 18.171387°		 ← 863.84 m →
745 975 m²		 N 69.295027°
W 18.149414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449554443359375 y=0.229400634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449554443359375 × 214)
    floor (0.449554443359375 × 16384)
    floor (7365.5)     		tx = 7365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229400634765625 × 214)
    floor (0.229400634765625 × 16384)
    floor (3758.5)     		ty = 3758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7365 / 3758 ti = "14/7365/3758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7365/3758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7365 ÷ 214
    7365 ÷ 16384     		x = 0.44952392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3758 ÷ 214
    3758 ÷ 16384     		y = 0.2293701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44952392578125 × 2 - 1) × π
    -0.1009521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31715053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2293701171875 × 2 - 1) × π
    0.541259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.70041770332263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31715053} λ = -0.31715053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70041770332263))-π/2
    2×atan(5.47623435534353)-π/2
    2×1.39017913217408-π/2
    2.78035826434815-1.57079632675     		φ = 1.20956194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31715053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.171387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20956194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.302794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7365 KachelY 3758 -0.31715053 1.20956194 -18.171387 69.302794
    Oben rechts KachelX + 1 7366 KachelY 3758 -0.31676703 1.20956194 -18.149414 69.302794
    Unten links KachelX 7365 KachelY + 1 3759 -0.31715053 1.20942637 -18.171387 69.295027
    Unten rechts KachelX + 1 7366 KachelY + 1 3759 -0.31676703 1.20942637 -18.149414 69.295027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20956194-1.20942637) × R
    0.000135569999999863 × 6371000     		dl = 863.716469999126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20956194-1.20942637) × R
    0.000135569999999863 × 6371000     		dr = 863.716469999126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31715053--0.31676703) × cos(1.20956194) × R
    0.000383499999999981 × 0.353429223280258 × 6371000     		do = 863.526022512311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31715053--0.31676703) × cos(1.20942637) × R
    0.000383499999999981 × 0.353556040516109 × 6371000     		du = 863.835872338096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20956194)-sin(1.20942637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353429223280258-0.353556040516109)×R²
    abs(-0.31676703--0.31715053)×0.000126817235851284×R²
    0.000383499999999981×0.000126817235851284×6371000²
    0.000383499999999981×0.000126817235851284×40589641000000     		ar = 745975.460257211m²