Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7365 / 3382
↖ ↑ ↗
← N 72.033289°
W 18.171387°		 ← 753.66 m → N 72.033289°
W 18.149414°		 →
↑
753.82 m
↓
↑
753.82 m
↓
N 72.026510°
W 18.171387°		 ← 753.94 m →
568 228 m²		 N 72.026510°
W 18.149414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449554443359375 y=0.206451416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449554443359375 × 214)
    floor (0.449554443359375 × 16384)
    floor (7365.5)     		tx = 7365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206451416015625 × 214)
    floor (0.206451416015625 × 16384)
    floor (3382.5)     		ty = 3382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7365 / 3382 ti = "14/7365/3382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7365/3382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7365 ÷ 214
    7365 ÷ 16384     		x = 0.44952392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3382 ÷ 214
    3382 ÷ 16384     		y = 0.2064208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44952392578125 × 2 - 1) × π
    -0.1009521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31715053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2064208984375 × 2 - 1) × π
    0.587158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.84461189737976
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31715053} λ = -0.31715053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84461189737976))-π/2
    2×atan(6.32564431481136)-π/2
    2×1.41400719783025-π/2
    2.82801439566049-1.57079632675     		φ = 1.25721807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31715053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.171387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25721807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.033289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7365 KachelY 3382 -0.31715053 1.25721807 -18.171387 72.033289
    Oben rechts KachelX + 1 7366 KachelY 3382 -0.31676703 1.25721807 -18.149414 72.033289
    Unten links KachelX 7365 KachelY + 1 3383 -0.31715053 1.25709975 -18.171387 72.026510
    Unten rechts KachelX + 1 7366 KachelY + 1 3383 -0.31676703 1.25709975 -18.149414 72.026510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25721807-1.25709975) × R
    0.000118319999999894 × 6371000     		dl = 753.816719999325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25721807-1.25709975) × R
    0.000118319999999894 × 6371000     		dr = 753.816719999325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31715053--0.31676703) × cos(1.25721807) × R
    0.000383499999999981 × 0.308464370267563 × 6371000     		do = 753.664363890739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31715053--0.31676703) × cos(1.25709975) × R
    0.000383499999999981 × 0.308576918339474 × 6371000     		du = 753.939350175056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25721807)-sin(1.25709975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308464370267563-0.308576918339474)×R²
    abs(-0.31676703--0.31715053)×0.000112548071911189×R²
    0.000383499999999981×0.000112548071911189×6371000²
    0.000383499999999981×0.000112548071911189×40589641000000     		ar = 568228.444060621m²