Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73640 / 73572
↖ ↑ ↗
← S 21.545066°
E 22.258301°		 ← 284.09 m → S 21.545066°
E 22.261047°		 →
↑
284.08 m
↓
↑
284.08 m
↓
S 21.547621°
E 22.258301°		 ← 284.08 m →
80 703 m²		 S 21.547621°
E 22.261047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561832427978516 y=0.561313629150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561832427978516 × 217)
    floor (0.561832427978516 × 131072)
    floor (73640.5)     		tx = 73640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561313629150391 × 217)
    floor (0.561313629150391 × 131072)
    floor (73572.5)     		ty = 73572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73640 / 73572 ti = "17/73640/73572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73640/73572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73640 ÷ 217
    73640 ÷ 131072     		x = 0.56182861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73572 ÷ 217
    73572 ÷ 131072     		y = 0.561309814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56182861328125 × 2 - 1) × π
    0.1236572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.38848063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561309814453125 × 2 - 1) × π
    -0.12261962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.385220925346771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38848063} λ = 0.38848063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.385220925346771))-π/2
    2×atan(0.680300324016321)-π/2
    2×0.597381993211998-π/2
    1.194763986424-1.57079632675     		φ = -0.37603234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38848063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.258301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37603234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.545066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73640 KachelY 73572 0.38848063 -0.37603234 22.258301 -21.545066
    Oben rechts KachelX + 1 73641 KachelY 73572 0.38852857 -0.37603234 22.261047 -21.545066
    Unten links KachelX 73640 KachelY + 1 73573 0.38848063 -0.37607693 22.258301 -21.547621
    Unten rechts KachelX + 1 73641 KachelY + 1 73573 0.38852857 -0.37607693 22.261047 -21.547621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37603234--0.37607693) × R
    4.45899999999555e-05 × 6371000     		dl = 284.082889999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37603234--0.37607693) × R
    4.45899999999555e-05 × 6371000     		dr = 284.082889999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38848063-0.38852857) × cos(-0.37603234) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.930129008363818 × 6371000     		do = 284.085340675128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38848063-0.38852857) × cos(-0.37607693) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.930112632522625 × 6371000     		du = 284.080339071713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37603234)-sin(-0.37607693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930129008363818-0.930112632522625)×R²
    abs(0.38852857-0.38848063)×1.63758411936277e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.63758411936277e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.63758411936277e-05×40589641000000     		ar = 80703.0741638713m²