Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73640 / 61333
↖ ↑ ↗
← N 11.466566°
E 22.258301°		 ← 299.33 m → N 11.466566°
E 22.261047°		 →
↑
299.31 m
↓
↑
299.31 m
↓
N 11.463874°
E 22.258301°		 ← 299.33 m →
89 593 m²		 N 11.463874°
E 22.261047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561832427978516 y=0.467937469482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561832427978516 × 217)
    floor (0.561832427978516 × 131072)
    floor (73640.5)     		tx = 73640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467937469482422 × 217)
    floor (0.467937469482422 × 131072)
    floor (61333.5)     		ty = 61333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73640 / 61333 ti = "17/73640/61333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73640/61333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73640 ÷ 217
    73640 ÷ 131072     		x = 0.56182861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61333 ÷ 217
    61333 ÷ 131072     		y = 0.467933654785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56182861328125 × 2 - 1) × π
    0.1236572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.38848063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467933654785156 × 2 - 1) × π
    0.0641326904296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.201478789103096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38848063} λ = 0.38848063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.201478789103096))-π/2
    2×atan(1.22321029140026)-π/2
    2×0.885462830054886-π/2
    1.77092566010977-1.57079632675     		φ = 0.20012933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38848063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.258301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20012933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.466566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73640 KachelY 61333 0.38848063 0.20012933 22.258301 11.466566
    Oben rechts KachelX + 1 73641 KachelY 61333 0.38852857 0.20012933 22.261047 11.466566
    Unten links KachelX 73640 KachelY + 1 61334 0.38848063 0.20008235 22.258301 11.463874
    Unten rechts KachelX + 1 73641 KachelY + 1 61334 0.38852857 0.20008235 22.261047 11.463874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20012933-0.20008235) × R
    4.6980000000002e-05 × 6371000     		dl = 299.309580000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20012933-0.20008235) × R
    4.6980000000002e-05 × 6371000     		dr = 299.309580000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38848063-0.38852857) × cos(0.20012933) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.980040875740343 × 6371000     		do = 299.329709703393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38848063-0.38852857) × cos(0.20008235) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.980050214098697 × 6371000     		du = 299.332561878403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20012933)-sin(0.20008235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980040875740343-0.980050214098697)×R²
    abs(0.38852857-0.38848063)×9.33835835459362e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.33835835459362e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.33835835459362e-06×40589641000000     		ar = 89592.6765510025m²