Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7364 / 5765
↖ ↑ ↗
← N 46.965259°
W 18.193359°		 ← 1 667.35 m → N 46.965259°
W 18.171387°		 →
↑
1 667.61 m
↓
↑
1 667.61 m
↓
N 46.950262°
W 18.193359°		 ← 1 667.82 m →
2 780 881 m²		 N 46.950262°
W 18.171387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449493408203125 y=0.351898193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449493408203125 × 214)
    floor (0.449493408203125 × 16384)
    floor (7364.5)     		tx = 7364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351898193359375 × 214)
    floor (0.351898193359375 × 16384)
    floor (5765.5)     		ty = 5765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7364 / 5765 ti = "14/7364/5765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7364/5765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7364 ÷ 214
    7364 ÷ 16384     		x = 0.449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5765 ÷ 214
    5765 ÷ 16384     		y = 0.35186767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449462890625 × 2 - 1) × π
    -0.10107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31753402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35186767578125 × 2 - 1) × π
    0.2962646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.93074284302301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31753402} λ = -0.31753402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93074284302301))-π/2
    2×atan(2.53639261954144)-π/2
    2×1.19524736868303-π/2
    2.39049473736605-1.57079632675     		φ = 0.81969841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31753402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.193359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81969841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.965259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7364 KachelY 5765 -0.31753402 0.81969841 -18.193359 46.965259
    Oben rechts KachelX + 1 7365 KachelY 5765 -0.31715053 0.81969841 -18.171387 46.965259
    Unten links KachelX 7364 KachelY + 1 5766 -0.31753402 0.81943666 -18.193359 46.950262
    Unten rechts KachelX + 1 7365 KachelY + 1 5766 -0.31715053 0.81943666 -18.171387 46.950262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81969841-0.81943666) × R
    0.00026174999999995 × 6371000     		dl = 1667.60924999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81969841-0.81943666) × R
    0.00026174999999995 × 6371000     		dr = 1667.60924999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31753402--0.31715053) × cos(0.81969841) × R
    0.000383489999999986 × 0.682441682528822 × 6371000     		do = 1667.35161206684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31753402--0.31715053) × cos(0.81943666) × R
    0.000383489999999986 × 0.682632982705432 × 6371000     		du = 1667.81899948767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81969841)-sin(0.81943666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682441682528822-0.682632982705432)×R²
    abs(-0.31715053--0.31753402)×0.000191300176610065×R²
    0.000383489999999986×0.000191300176610065×6371000²
    0.000383489999999986×0.000191300176610065×40589641000000     		ar = 2780880.69695599m²