Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 7364 / 5307
↖ ↑ ↗
← N 76.364852°
W 99.096680°		 ← 287.99 m → N 76.364852°
W 99.085693°		 →
↑
288.03 m
↓
↑
288.03 m
↓
N 76.362262°
W 99.096680°		 ← 288.04 m →
82 958 m²		 N 76.362262°
W 99.085693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224746704101562 y=0.161972045898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224746704101562 × 215)
    floor (0.224746704101562 × 32768)
    floor (7364.5)     		tx = 7364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161972045898438 × 215)
    floor (0.161972045898438 × 32768)
    floor (5307.5)     		ty = 5307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7364 / 5307 ti = "15/7364/5307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7364/5307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7364 ÷ 215
    7364 ÷ 32768     		x = 0.2247314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5307 ÷ 215
    5307 ÷ 32768     		y = 0.161956787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2247314453125 × 2 - 1) × π
    -0.550537109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.72956334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161956787109375 × 2 - 1) × π
    0.67608642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.12398814836545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72956334} λ = -1.72956334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12398814836545))-π/2
    2×atan(8.36442964294194)-π/2
    2×1.45180721312335-π/2
    2.90361442624669-1.57079632675     		φ = 1.33281810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72956334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.096680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33281810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.364852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7364 KachelY 5307 -1.72956334 1.33281810 -99.096680 76.364852
    Oben rechts KachelX + 1 7365 KachelY 5307 -1.72937159 1.33281810 -99.085693 76.364852
    Unten links KachelX 7364 KachelY + 1 5308 -1.72956334 1.33277289 -99.096680 76.362262
    Unten rechts KachelX + 1 7365 KachelY + 1 5308 -1.72937159 1.33277289 -99.085693 76.362262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33281810-1.33277289) × R
    4.52099999999067e-05 × 6371000     		dl = 288.032909999406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33281810-1.33277289) × R
    4.52099999999067e-05 × 6371000     		dr = 288.032909999406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72956334--1.72937159) × cos(1.33281810) × R
    0.000191749999999935 × 0.235738316861829 × 6371000     		do = 287.98718060725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72956334--1.72937159) × cos(1.33277289) × R
    0.000191749999999935 × 0.235782252448032 × 6371000     		du = 288.040854043826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33281810)-sin(1.33277289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235738316861829-0.235782252448032)×R²
    abs(-1.72937159--1.72956334)×4.39355862021651e-05×R²
    0.000191749999999935×4.39355862021651e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.39355862021651e-05×40589641000000     		ar = 82957.5155453104m²