Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7363 / 5748
↖ ↑ ↗
← N 47.219568°
W 18.215332°		 ← 1 659.45 m → N 47.219568°
W 18.193359°		 →
↑
1 659.65 m
↓
↑
1 659.65 m
↓
N 47.204642°
W 18.215332°		 ← 1 659.92 m →
2 754 490 m²		 N 47.204642°
W 18.193359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449432373046875 y=0.350860595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449432373046875 × 214)
    floor (0.449432373046875 × 16384)
    floor (7363.5)     		tx = 7363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350860595703125 × 214)
    floor (0.350860595703125 × 16384)
    floor (5748.5)     		ty = 5748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7363 / 5748 ti = "14/7363/5748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7363/5748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7363 ÷ 214
    7363 ÷ 16384     		x = 0.44940185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5748 ÷ 214
    5748 ÷ 16384     		y = 0.350830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44940185546875 × 2 - 1) × π
    -0.1011962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31791752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350830078125 × 2 - 1) × π
    0.29833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.937262261371338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31791752} λ = -0.31791752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.937262261371338))-π/2
    2×atan(2.55298244336528)-π/2
    2×1.19746663085317-π/2
    2.39493326170633-1.57079632675     		φ = 0.82413693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31791752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.215332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82413693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.219568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7363 KachelY 5748 -0.31791752 0.82413693 -18.215332 47.219568
    Oben rechts KachelX + 1 7364 KachelY 5748 -0.31753402 0.82413693 -18.193359 47.219568
    Unten links KachelX 7363 KachelY + 1 5749 -0.31791752 0.82387643 -18.215332 47.204642
    Unten rechts KachelX + 1 7364 KachelY + 1 5749 -0.31753402 0.82387643 -18.193359 47.204642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82413693-0.82387643) × R
    0.000260499999999997 × 6371000     		dl = 1659.64549999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82413693-0.82387643) × R
    0.000260499999999997 × 6371000     		dr = 1659.64549999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31791752--0.31753402) × cos(0.82413693) × R
    0.000383500000000037 × 0.679190678974484 × 6371000     		do = 1659.45198333892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31791752--0.31753402) × cos(0.82387643) × R
    0.000383500000000037 × 0.679381852993541 × 6371000     		du = 1659.91907470944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82413693)-sin(0.82387643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679190678974484-0.679381852993541)×R²
    abs(-0.31753402--0.31791752)×0.000191174019057216×R²
    0.000383500000000037×0.000191174019057216×6371000²
    0.000383500000000037×0.000191174019057216×40589641000000     		ar = 2754489.63523732m²