Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7361 / 5766
↖ ↑ ↗
← N 46.950262°
W 18.259277°		 ← 1 667.86 m → N 46.950262°
W 18.237304°		 →
↑
1 668.06 m
↓
↑
1 668.06 m
↓
N 46.935261°
W 18.259277°		 ← 1 668.33 m →
2 782 477 m²		 N 46.935261°
W 18.237304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449310302734375 y=0.351959228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449310302734375 × 214)
    floor (0.449310302734375 × 16384)
    floor (7361.5)     		tx = 7361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351959228515625 × 214)
    floor (0.351959228515625 × 16384)
    floor (5766.5)     		ty = 5766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7361 / 5766 ti = "14/7361/5766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7361/5766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7361 ÷ 214
    7361 ÷ 16384     		x = 0.44927978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5766 ÷ 214
    5766 ÷ 16384     		y = 0.3519287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44927978515625 × 2 - 1) × π
    -0.1014404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31868451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3519287109375 × 2 - 1) × π
    0.296142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.93035934782605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31868451} λ = -0.31868451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93035934782605))-π/2
    2×atan(2.53542011164221)-π/2
    2×1.19511649378883-π/2
    2.39023298757766-1.57079632675     		φ = 0.81943666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31868451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.259277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81943666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.950262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7361 KachelY 5766 -0.31868451 0.81943666 -18.259277 46.950262
    Oben rechts KachelX + 1 7362 KachelY 5766 -0.31830101 0.81943666 -18.237304 46.950262
    Unten links KachelX 7361 KachelY + 1 5767 -0.31868451 0.81917484 -18.259277 46.935261
    Unten rechts KachelX + 1 7362 KachelY + 1 5767 -0.31830101 0.81917484 -18.237304 46.935261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81943666-0.81917484) × R
    0.000261820000000079 × 6371000     		dl = 1668.0552200005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81943666-0.81917484) × R
    0.000261820000000079 × 6371000     		dr = 1668.0552200005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31868451--0.31830101) × cos(0.81943666) × R
    0.000383499999999981 × 0.682632982705432 × 6371000     		do = 1667.86249003497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31868451--0.31830101) × cos(0.81917484) × R
    0.000383499999999981 × 0.682824287253553 × 6371000     		du = 1668.32990032435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81943666)-sin(0.81917484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682632982705432-0.682824287253553)×R²
    abs(-0.31830101--0.31868451)×0.000191304548120663×R²
    0.000383499999999981×0.000191304548120663×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191304548120663×40589641000000     		ar = 2782476.58172719m²