Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7360 / 7488
↖ ↑ ↗
← S 81.518272°
E143.437500°		 ← 720.73 m → S 81.518272°
E143.481446°		 →
↑
720.50 m
↓
↑
720.50 m
↓
S 81.524751°
E143.437500°		 ← 720.18 m →
519 085 m²		 S 81.524751°
E143.481446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.89849853515625 y=0.91412353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.89849853515625 × 213)
    floor (0.89849853515625 × 8192)
    floor (7360.5)     		tx = 7360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91412353515625 × 213)
    floor (0.91412353515625 × 8192)
    floor (7488.5)     		ty = 7488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7360 / 7488 ti = "13/7360/7488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7360/7488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7360 ÷ 213
    7360 ÷ 8192     		x = 0.8984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7488 ÷ 213
    7488 ÷ 8192     		y = 0.9140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8984375 × 2 - 1) × π
    0.796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.50345665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9140625 × 2 - 1) × π
    -0.828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60163141617969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.50345665} λ = 2.50345665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60163141617969))-π/2
    2×atan(0.0741525058836444)-π/2
    2×0.0740170410122265-π/2
    0.148034082024453-1.57079632675     		φ = -1.42276224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.50345665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 143.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42276224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.518272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7360 KachelY 7488 2.50345665 -1.42276224 143.437500 -81.518272
    Oben rechts KachelX + 1 7361 KachelY 7488 2.50422364 -1.42276224 143.481446 -81.518272
    Unten links KachelX 7360 KachelY + 1 7489 2.50345665 -1.42287533 143.437500 -81.524751
    Unten rechts KachelX + 1 7361 KachelY + 1 7489 2.50422364 -1.42287533 143.481446 -81.524751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42276224--1.42287533) × R
    0.000113090000000149 × 6371000     		dl = 720.496390000949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42276224--1.42287533) × R
    0.000113090000000149 × 6371000     		dr = 720.496390000949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.50345665-2.50422364) × cos(-1.42276224) × R
    0.000766990000000245 × 0.147494006831501 × 6371000     		do = 720.728474697575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.50345665-2.50422364) × cos(-1.42287533) × R
    0.000766990000000245 × 0.147382152759612 × 6371000     		du = 720.181900525827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42276224)-sin(-1.42287533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147494006831501-0.147382152759612)×R²
    abs(2.50422364-2.50345665)×0.000111854071889655×R²
    0.000766990000000245×0.000111854071889655×6371000²
    0.000766990000000245×0.000111854071889655×40589641000000     		ar = 519085.362387357m²