Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7360 / 5953
↖ ↑ ↗
← N 74.587189°
W 99.140625°		 ← 324.68 m → N 74.587189°
W 99.129639°		 →
↑
324.73 m
↓
↑
324.73 m
↓
N 74.584268°
W 99.140625°		 ← 324.74 m →
105 442 m²		 N 74.584268°
W 99.129639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224624633789062 y=0.181686401367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224624633789062 × 215)
    floor (0.224624633789062 × 32768)
    floor (7360.5)     		tx = 7360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.181686401367188 × 215)
    floor (0.181686401367188 × 32768)
    floor (5953.5)     		ty = 5953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7360 / 5953 ti = "15/7360/5953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7360/5953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7360 ÷ 215
    7360 ÷ 32768     		x = 0.224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5953 ÷ 215
    5953 ÷ 32768     		y = 0.181671142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.224609375 × 2 - 1) × π
    -0.55078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.73033033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.181671142578125 × 2 - 1) × π
    0.63665771484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.00011919974722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73033033} λ = -1.73033033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.00011919974722))-π/2
    2×atan(7.38993692504594)-π/2
    2×1.43629417228953-π/2
    2.87258834457906-1.57079632675     		φ = 1.30179202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73033033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30179202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.587189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7360 KachelY 5953 -1.73033033 1.30179202 -99.140625 74.587189
    Oben rechts KachelX + 1 7361 KachelY 5953 -1.73013858 1.30179202 -99.129639 74.587189
    Unten links KachelX 7360 KachelY + 1 5954 -1.73033033 1.30174105 -99.140625 74.584268
    Unten rechts KachelX + 1 7361 KachelY + 1 5954 -1.73013858 1.30174105 -99.129639 74.584268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30179202-1.30174105) × R
    5.09699999999835e-05 × 6371000     		dl = 324.729869999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30179202-1.30174105) × R
    5.09699999999835e-05 × 6371000     		dr = 324.729869999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73033033--1.73013858) × cos(1.30179202) × R
    0.000191749999999935 × 0.265771684495182 × 6371000     		do = 324.67712131782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73033033--1.73013858) × cos(1.30174105) × R
    0.000191749999999935 × 0.265820821064915 × 6371000     		du = 324.737148480017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30179202)-sin(1.30174105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.265771684495182-0.265820821064915)×R²
    abs(-1.73013858--1.73033033)×4.91365697332102e-05×R²
    0.000191749999999935×4.91365697332102e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.91365697332102e-05×40589641000000     		ar = 105442.105726848m²