Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7360 / 5055
↖ ↑ ↗
← N 56.571589°
W 18.281250°		 ← 1 345.95 m → N 56.571589°
W 18.259277°		 →
↑
1 346.19 m
↓
↑
1 346.19 m
↓
N 56.559482°
W 18.281250°		 ← 1 346.38 m →
1 812 203 m²		 N 56.559482°
W 18.259277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449249267578125 y=0.308563232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449249267578125 × 214)
    floor (0.449249267578125 × 16384)
    floor (7360.5)     		tx = 7360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308563232421875 × 214)
    floor (0.308563232421875 × 16384)
    floor (5055.5)     		ty = 5055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7360 / 5055 ti = "14/7360/5055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7360/5055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7360 ÷ 214
    7360 ÷ 16384     		x = 0.44921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5055 ÷ 214
    5055 ÷ 16384     		y = 0.30853271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44921875 × 2 - 1) × π
    -0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30853271484375 × 2 - 1) × π
    0.3829345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20302443286493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31906800} λ = -0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20302443286493))-π/2
    2×atan(3.33017359367026)-π/2
    2×1.27907840930103-π/2
    2.55815681860206-1.57079632675     		φ = 0.98736049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98736049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.571589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7360 KachelY 5055 -0.31906800 0.98736049 -18.281250 56.571589
    Oben rechts KachelX + 1 7361 KachelY 5055 -0.31868451 0.98736049 -18.259277 56.571589
    Unten links KachelX 7360 KachelY + 1 5056 -0.31906800 0.98714919 -18.281250 56.559482
    Unten rechts KachelX + 1 7361 KachelY + 1 5056 -0.31868451 0.98714919 -18.259277 56.559482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98736049-0.98714919) × R
    0.000211300000000025 × 6371000     		dl = 1346.19230000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98736049-0.98714919) × R
    0.000211300000000025 × 6371000     		dr = 1346.19230000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31906800--0.31868451) × cos(0.98736049) × R
    0.000383490000000042 × 0.550894645586417 × 6371000     		do = 1345.95394582869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31906800--0.31868451) × cos(0.98714919) × R
    0.000383490000000042 × 0.55107097894133 × 6371000     		du = 1346.38476608938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98736049)-sin(0.98714919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550894645586417-0.55107097894133)×R²
    abs(-0.31868451--0.31906800)×0.000176333354913183×R²
    0.000383490000000042×0.000176333354913183×6371000²
    0.000383490000000042×0.000176333354913183×40589641000000     		ar = 1812202.82823048m²