Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73598 / 76684
↖ ↑ ↗
← S 29.257649°
E 22.142944°		 ← 266.46 m → S 29.257649°
E 22.145691°		 →
↑
266.44 m
↓
↑
266.44 m
↓
S 29.260045°
E 22.142944°		 ← 266.46 m →
70 994 m²		 S 29.260045°
E 22.145691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561511993408203 y=0.585056304931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561511993408203 × 217)
    floor (0.561511993408203 × 131072)
    floor (73598.5)     		tx = 73598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585056304931641 × 217)
    floor (0.585056304931641 × 131072)
    floor (76684.5)     		ty = 76684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73598 / 76684 ti = "17/73598/76684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73598/76684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73598 ÷ 217
    73598 ÷ 131072     		x = 0.561508178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76684 ÷ 217
    76684 ÷ 131072     		y = 0.585052490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561508178710938 × 2 - 1) × π
    0.123016357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38646728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585052490234375 × 2 - 1) × π
    -0.17010498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.534400556964386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38646728} λ = 0.38646728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.534400556964386))-π/2
    2×atan(0.586020470767818)-π/2
    2×0.53007701451447-π/2
    1.06015402902894-1.57079632675     		φ = -0.51064230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38646728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.142944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51064230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.257649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73598 KachelY 76684 0.38646728 -0.51064230 22.142944 -29.257649
    Oben rechts KachelX + 1 73599 KachelY 76684 0.38651522 -0.51064230 22.145691 -29.257649
    Unten links KachelX 73598 KachelY + 1 76685 0.38646728 -0.51068412 22.142944 -29.260045
    Unten rechts KachelX + 1 73599 KachelY + 1 76685 0.38651522 -0.51068412 22.145691 -29.260045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51064230--0.51068412) × R
    4.18199999999702e-05 × 6371000     		dl = 266.43521999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51064230--0.51068412) × R
    4.18199999999702e-05 × 6371000     		dr = 266.43521999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38646728-0.38651522) × cos(-0.51064230) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.872430771396581 × 6371000     		do = 266.462813952397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38646728-0.38651522) × cos(-0.51068412) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.872410331622654 × 6371000     		du = 266.45657111932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51064230)-sin(-0.51068412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872430771396581-0.872410331622654)×R²
    abs(0.38651522-0.38646728)×2.04397739264062e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.04397739264062e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.04397739264062e-05×40589641000000     		ar = 70994.2468121996m²