Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73597 / 76627
↖ ↑ ↗
← S 29.120974°
E 22.140198°		 ← 266.76 m → S 29.120974°
E 22.142944°		 →
↑
266.82 m
↓
↑
266.82 m
↓
S 29.123373°
E 22.140198°		 ← 266.76 m →
71 176 m²		 S 29.123373°
E 22.142944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561504364013672 y=0.584621429443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561504364013672 × 217)
    floor (0.561504364013672 × 131072)
    floor (73597.5)     		tx = 73597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584621429443359 × 217)
    floor (0.584621429443359 × 131072)
    floor (76627.5)     		ty = 76627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73597 / 76627 ti = "17/73597/76627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73597/76627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73597 ÷ 217
    73597 ÷ 131072     		x = 0.561500549316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76627 ÷ 217
    76627 ÷ 131072     		y = 0.584617614746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561500549316406 × 2 - 1) × π
    0.123001098632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.38641935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584617614746094 × 2 - 1) × π
    -0.169235229492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.531668153686043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38641935} λ = 0.38641935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.531668153686043))-π/2
    2×atan(0.587623904639697)-π/2
    2×0.531269725949078-π/2
    1.06253945189816-1.57079632675     		φ = -0.50825687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38641935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.140198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50825687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.120974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73597 KachelY 76627 0.38641935 -0.50825687 22.140198 -29.120974
    Oben rechts KachelX + 1 73598 KachelY 76627 0.38646728 -0.50825687 22.142944 -29.120974
    Unten links KachelX 73597 KachelY + 1 76628 0.38641935 -0.50829875 22.140198 -29.123373
    Unten rechts KachelX + 1 73598 KachelY + 1 76628 0.38646728 -0.50829875 22.142944 -29.123373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50825687--0.50829875) × R
    4.18800000000497e-05 × 6371000     		dl = 266.817480000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50825687--0.50829875) × R
    4.18800000000497e-05 × 6371000     		dr = 266.817480000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38641935-0.38646728) × cos(-0.50825687) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.873594137701455 × 6371000     		do = 266.762479284779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38641935-0.38646728) × cos(-0.50829875) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.87357375581562 × 6371000     		du = 266.756255430745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50825687)-sin(-0.50829875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873594137701455-0.87357375581562)×R²
    abs(0.38646728-0.38641935)×2.03818858355298e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.03818858355298e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.03818858355298e-05×40589641000000     		ar = 71176.0621752941m²