Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7359 / 5952
↖ ↑ ↗
← N 74.590108°
W 99.151612°		 ← 324.62 m → N 74.590108°
W 99.140625°		 →
↑
324.60 m
↓
↑
324.60 m
↓
N 74.587189°
W 99.151612°		 ← 324.68 m →
105 381 m²		 N 74.587189°
W 99.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224594116210938 y=0.181655883789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224594116210938 × 215)
    floor (0.224594116210938 × 32768)
    floor (7359.5)     		tx = 7359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.181655883789062 × 215)
    floor (0.181655883789062 × 32768)
    floor (5952.5)     		ty = 5952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7359 / 5952 ti = "15/7359/5952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7359/5952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7359 ÷ 215
    7359 ÷ 32768     		x = 0.224578857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5952 ÷ 215
    5952 ÷ 32768     		y = 0.181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.224578857421875 × 2 - 1) × π
    -0.55084228515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.73052208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.181640625 × 2 - 1) × π
    0.63671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.0003109473457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73052208} λ = -1.73052208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0003109473457))-π/2
    2×atan(7.39135406356635)-π/2
    2×1.43631965047593-π/2
    2.87263930095186-1.57079632675     		φ = 1.30184297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73052208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.151612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30184297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.590108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7359 KachelY 5952 -1.73052208 1.30184297 -99.151612 74.590108
    Oben rechts KachelX + 1 7360 KachelY 5952 -1.73033033 1.30184297 -99.140625 74.590108
    Unten links KachelX 7359 KachelY + 1 5953 -1.73052208 1.30179202 -99.151612 74.587189
    Unten rechts KachelX + 1 7360 KachelY + 1 5953 -1.73033033 1.30179202 -99.140625 74.587189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30184297-1.30179202) × R
    5.09500000001051e-05 × 6371000     		dl = 324.602450000669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30184297-1.30179202) × R
    5.09500000001051e-05 × 6371000     		dr = 324.602450000669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73052208--1.73033033) × cos(1.30184297) × R
    0.000191750000000157 × 0.26572256651598 × 6371000     		do = 324.617116866923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73052208--1.73033033) × cos(1.30179202) × R
    0.000191750000000157 × 0.265771684495182 × 6371000     		du = 324.677121318196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30184297)-sin(1.30179202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.26572256651598-0.265771684495182)×R²
    abs(-1.73033033--1.73052208)×4.91179792015961e-05×R²
    0.000191750000000157×4.91179792015961e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.91179792015961e-05×40589641000000     		ar = 105381.250265842m²