Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7359 / 5056
↖ ↑ ↗
← N 56.559482°
W 18.303223°		 ← 1 346.42 m → N 56.559482°
W 18.281250°		 →
↑
1 346.57 m
↓
↑
1 346.57 m
↓
N 56.547372°
W 18.303223°		 ← 1 346.85 m →
1 813 345 m²		 N 56.547372°
W 18.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449188232421875 y=0.308624267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449188232421875 × 214)
    floor (0.449188232421875 × 16384)
    floor (7359.5)     		tx = 7359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308624267578125 × 214)
    floor (0.308624267578125 × 16384)
    floor (5056.5)     		ty = 5056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7359 / 5056 ti = "14/7359/5056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7359/5056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7359 ÷ 214
    7359 ÷ 16384     		x = 0.44915771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5056 ÷ 214
    5056 ÷ 16384     		y = 0.30859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44915771484375 × 2 - 1) × π
    -0.1016845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31945150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30859375 × 2 - 1) × π
    0.3828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20264093766797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31945150} λ = -0.31945150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20264093766797))-π/2
    2×atan(3.32889673294267)-π/2
    2×1.27897275967083-π/2
    2.55794551934167-1.57079632675     		φ = 0.98714919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31945150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.303223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98714919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.559482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7359 KachelY 5056 -0.31945150 0.98714919 -18.303223 56.559482
    Oben rechts KachelX + 1 7360 KachelY 5056 -0.31906800 0.98714919 -18.281250 56.559482
    Unten links KachelX 7359 KachelY + 1 5057 -0.31945150 0.98693783 -18.303223 56.547372
    Unten rechts KachelX + 1 7360 KachelY + 1 5057 -0.31906800 0.98693783 -18.281250 56.547372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98714919-0.98693783) × R
    0.000211359999999994 × 6371000     		dl = 1346.57455999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98714919-0.98693783) × R
    0.000211359999999994 × 6371000     		dr = 1346.57455999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31945150--0.31906800) × cos(0.98714919) × R
    0.000383499999999981 × 0.55107097894133 × 6371000     		do = 1346.41987482124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31945150--0.31906800) × cos(0.98693783) × R
    0.000383499999999981 × 0.551247337752711 × 6371000     		du = 1346.85076851337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98714919)-sin(0.98693783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55107097894133-0.551247337752711)×R²
    abs(-0.31906800--0.31945150)×0.000176358811380783×R²
    0.000383499999999981×0.000176358811380783×6371000²
    0.000383499999999981×0.000176358811380783×40589641000000     		ar = 1813344.87250581m²