Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73585 / 76723
↖ ↑ ↗
← S 29.351058°
E 22.107239°		 ← 266.16 m → S 29.351058°
E 22.109985°		 →
↑
266.18 m
↓
↑
266.18 m
↓
S 29.353452°
E 22.107239°		 ← 266.16 m →
70 847 m²		 S 29.353452°
E 22.109985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561412811279297 y=0.585353851318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561412811279297 × 217)
    floor (0.561412811279297 × 131072)
    floor (73585.5)     		tx = 73585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585353851318359 × 217)
    floor (0.585353851318359 × 131072)
    floor (76723.5)     		ty = 76723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73585 / 76723 ti = "17/73585/76723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73585/76723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73585 ÷ 217
    73585 ÷ 131072     		x = 0.561408996582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76723 ÷ 217
    76723 ÷ 131072     		y = 0.585350036621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561408996582031 × 2 - 1) × π
    0.122817993164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.38584411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585350036621094 × 2 - 1) × π
    -0.170700073242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.536270096049568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38584411} λ = 0.38584411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.536270096049568))-π/2
    2×atan(0.584925906077543)-π/2
    2×0.529261865624959-π/2
    1.05852373124992-1.57079632675     		φ = -0.51227260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38584411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.107239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51227260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.351058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73585 KachelY 76723 0.38584411 -0.51227260 22.107239 -29.351058
    Oben rechts KachelX + 1 73586 KachelY 76723 0.38589204 -0.51227260 22.109985 -29.351058
    Unten links KachelX 73585 KachelY + 1 76724 0.38584411 -0.51231438 22.107239 -29.353452
    Unten rechts KachelX + 1 73586 KachelY + 1 76724 0.38589204 -0.51231438 22.109985 -29.353452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51227260--0.51231438) × R
    4.17799999999913e-05 × 6371000     		dl = 266.180379999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51227260--0.51231438) × R
    4.17799999999913e-05 × 6371000     		dr = 266.180379999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38584411-0.38589204) × cos(-0.51227260) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.871632823253963 × 6371000     		do = 266.163568323316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38584411-0.38589204) × cos(-0.51231438) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.87161234363417 × 6371000     		du = 266.157314625042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51227260)-sin(-0.51231438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871632823253963-0.87161234363417)×R²
    abs(0.38589204-0.38584411)×2.04796197923462e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.04796197923462e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.04796197923462e-05×40589641000000     		ar = 70846.6874629203m²