Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73584 / 76720
↖ ↑ ↗
← S 29.343875°
E 22.104492°		 ← 266.24 m → S 29.343875°
E 22.107239°		 →
↑
266.24 m
↓
↑
266.24 m
↓
S 29.346270°
E 22.104492°		 ← 266.23 m →
70 883 m²		 S 29.346270°
E 22.107239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561405181884766 y=0.585330963134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561405181884766 × 217)
    floor (0.561405181884766 × 131072)
    floor (73584.5)     		tx = 73584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585330963134766 × 217)
    floor (0.585330963134766 × 131072)
    floor (76720.5)     		ty = 76720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73584 / 76720 ti = "17/73584/76720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73584/76720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73584 ÷ 217
    73584 ÷ 131072     		x = 0.5614013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76720 ÷ 217
    76720 ÷ 131072     		y = 0.5853271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5614013671875 × 2 - 1) × π
    0.122802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38579617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5853271484375 × 2 - 1) × π
    -0.170654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.536126285350708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38579617} λ = 0.38579617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.536126285350708))-π/2
    2×atan(0.585010030729745)-π/2
    2×0.529324542896722-π/2
    1.05864908579344-1.57079632675     		φ = -0.51214724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38579617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.104492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51214724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.343875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73584 KachelY 76720 0.38579617 -0.51214724 22.104492 -29.343875
    Oben rechts KachelX + 1 73585 KachelY 76720 0.38584411 -0.51214724 22.107239 -29.343875
    Unten links KachelX 73584 KachelY + 1 76721 0.38579617 -0.51218903 22.104492 -29.346270
    Unten rechts KachelX + 1 73585 KachelY + 1 76721 0.38584411 -0.51218903 22.107239 -29.346270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51214724--0.51218903) × R
    4.17900000000415e-05 × 6371000     		dl = 266.244090000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51214724--0.51218903) × R
    4.17900000000415e-05 × 6371000     		dr = 266.244090000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38579617-0.38584411) × cos(-0.51214724) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.87169426278523 × 6371000     		do = 266.237865265067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38579617-0.38584411) × cos(-0.51218903) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.871673782829892 × 6371000     		du = 266.231610159553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51214724)-sin(-0.51218903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87169426278523-0.871673782829892)×R²
    abs(0.38584411-0.38579617)×2.04799553379376e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.04799553379376e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.04799553379376e-05×40589641000000     		ar = 70883.425479004m²