Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73583 / 76687
↖ ↑ ↗
← S 29.264837°
E 22.101746°		 ← 266.44 m → S 29.264837°
E 22.104492°		 →
↑
266.44 m
↓
↑
266.44 m
↓
S 29.267233°
E 22.101746°		 ← 266.44 m →
70 989 m²		 S 29.267233°
E 22.104492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561397552490234 y=0.585079193115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561397552490234 × 217)
    floor (0.561397552490234 × 131072)
    floor (73583.5)     		tx = 73583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585079193115234 × 217)
    floor (0.585079193115234 × 131072)
    floor (76687.5)     		ty = 76687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73583 / 76687 ti = "17/73583/76687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73583/76687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73583 ÷ 217
    73583 ÷ 131072     		x = 0.561393737792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76687 ÷ 217
    76687 ÷ 131072     		y = 0.585075378417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561393737792969 × 2 - 1) × π
    0.122787475585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.38574823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585075378417969 × 2 - 1) × π
    -0.170150756835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.534544367663246
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38574823} λ = 0.38574823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.534544367663246))-π/2
    2×atan(0.585936200813976)-π/2
    2×0.53001428427963-π/2
    1.06002856855926-1.57079632675     		φ = -0.51076776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38574823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.101746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51076776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.264837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73583 KachelY 76687 0.38574823 -0.51076776 22.101746 -29.264837
    Oben rechts KachelX + 1 73584 KachelY 76687 0.38579617 -0.51076776 22.104492 -29.264837
    Unten links KachelX 73583 KachelY + 1 76688 0.38574823 -0.51080958 22.101746 -29.267233
    Unten rechts KachelX + 1 73584 KachelY + 1 76688 0.38579617 -0.51080958 22.104492 -29.267233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51076776--0.51080958) × R
    4.18199999999702e-05 × 6371000     		dl = 266.43521999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51076776--0.51080958) × R
    4.18199999999702e-05 × 6371000     		dr = 266.43521999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38574823-0.38579617) × cos(-0.51076776) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.87236944749753 × 6371000     		do = 266.444084055149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38574823-0.38579617) × cos(-0.51080958) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.872349003146403 × 6371000     		du = 266.437839824078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51076776)-sin(-0.51080958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87236944749753-0.872349003146403)×R²
    abs(0.38579617-0.38574823)×2.04443511268027e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.04443511268027e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.04443511268027e-05×40589641000000     		ar = 70989.2563215944m²