Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73582 / 76721
↖ ↑ ↗
← S 29.346270°
E 22.098999°		 ← 266.23 m → S 29.346270°
E 22.101746°		 →
↑
266.18 m
↓
↑
266.18 m
↓
S 29.348664°
E 22.098999°		 ← 266.23 m →
70 865 m²		 S 29.348664°
E 22.101746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561389923095703 y=0.585338592529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561389923095703 × 217)
    floor (0.561389923095703 × 131072)
    floor (73582.5)     		tx = 73582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585338592529297 × 217)
    floor (0.585338592529297 × 131072)
    floor (76721.5)     		ty = 76721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73582 / 76721 ti = "17/73582/76721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73582/76721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73582 ÷ 217
    73582 ÷ 131072     		x = 0.561386108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76721 ÷ 217
    76721 ÷ 131072     		y = 0.585334777832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561386108398438 × 2 - 1) × π
    0.122772216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38570029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585334777832031 × 2 - 1) × π
    -0.170669555664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.536174222250328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38570029} λ = 0.38570029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.536174222250328))-π/2
    2×atan(0.584981987834775)-π/2
    2×0.529303649981956-π/2
    1.05860729996391-1.57079632675     		φ = -0.51218903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38570029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.098999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51218903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.346270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73582 KachelY 76721 0.38570029 -0.51218903 22.098999 -29.346270
    Oben rechts KachelX + 1 73583 KachelY 76721 0.38574823 -0.51218903 22.101746 -29.346270
    Unten links KachelX 73582 KachelY + 1 76722 0.38570029 -0.51223081 22.098999 -29.348664
    Unten rechts KachelX + 1 73583 KachelY + 1 76722 0.38574823 -0.51223081 22.101746 -29.348664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51218903--0.51223081) × R
    4.17799999999913e-05 × 6371000     		dl = 266.180379999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51218903--0.51223081) × R
    4.17799999999913e-05 × 6371000     		dr = 266.180379999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38570029-0.38574823) × cos(-0.51218903) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.871673782829892 × 6371000     		do = 266.231610159553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38570029-0.38574823) × cos(-0.51223081) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.87165330625349 × 6371000     		du = 266.225356086052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51218903)-sin(-0.51223081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871673782829892-0.87165330625349)×R²
    abs(0.38574823-0.38570029)×2.04765764029169e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.04765764029169e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.04765764029169e-05×40589641000000     		ar = 70864.798814721m²