Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7358 / 4988
↖ ↑ ↗
← N 57.373938°
W 18.325195°		 ← 1 317.27 m → N 57.373938°
W 18.303223°		 →
↑
1 317.52 m
↓
↑
1 317.52 m
↓
N 57.362090°
W 18.325195°		 ← 1 317.69 m →
1 735 812 m²		 N 57.362090°
W 18.303223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449127197265625 y=0.304473876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449127197265625 × 214)
    floor (0.449127197265625 × 16384)
    floor (7358.5)     		tx = 7358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304473876953125 × 214)
    floor (0.304473876953125 × 16384)
    floor (4988.5)     		ty = 4988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7358 / 4988 ti = "14/7358/4988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7358/4988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7358 ÷ 214
    7358 ÷ 16384     		x = 0.4490966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4988 ÷ 214
    4988 ÷ 16384     		y = 0.304443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4490966796875 × 2 - 1) × π
    -0.101806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31983499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304443359375 × 2 - 1) × π
    0.39111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.22871861106128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31983499} λ = -0.31983499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22871861106128))-π/2
    2×atan(3.41684841816267)-π/2
    2×1.2860802285095-π/2
    2.57216045701899-1.57079632675     		φ = 1.00136413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31983499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.325195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00136413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.373938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7358 KachelY 4988 -0.31983499 1.00136413 -18.325195 57.373938
    Oben rechts KachelX + 1 7359 KachelY 4988 -0.31945150 1.00136413 -18.303223 57.373938
    Unten links KachelX 7358 KachelY + 1 4989 -0.31983499 1.00115733 -18.325195 57.362090
    Unten rechts KachelX + 1 7359 KachelY + 1 4989 -0.31945150 1.00115733 -18.303223 57.362090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00136413-1.00115733) × R
    0.000206799999999951 × 6371000     		dl = 1317.52279999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00136413-1.00115733) × R
    0.000206799999999951 × 6371000     		dr = 1317.52279999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31983499--0.31945150) × cos(1.00136413) × R
    0.000383489999999986 × 0.539153927698765 × 6371000     		do = 1317.26885024017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31983499--0.31945150) × cos(1.00115733) × R
    0.000383489999999986 × 0.539328084626839 × 6371000     		du = 1317.69435302262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00136413)-sin(1.00115733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539153927698765-0.539328084626839)×R²
    abs(-0.31945150--0.31983499)×0.000174156928073876×R²
    0.000383489999999986×0.000174156928073876×6371000²
    0.000383489999999986×0.000174156928073876×40589641000000     		ar = 1735812.05491636m²