Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7358 / 4723
↖ ↑ ↗
← N 60.381290°
W 18.325195°		 ← 1 207.50 m → N 60.381290°
W 18.303223°		 →
↑
1 207.69 m
↓
↑
1 207.69 m
↓
N 60.370429°
W 18.325195°		 ← 1 207.90 m →
1 458 525 m²		 N 60.370429°
W 18.303223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449127197265625 y=0.288299560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449127197265625 × 214)
    floor (0.449127197265625 × 16384)
    floor (7358.5)     		tx = 7358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288299560546875 × 214)
    floor (0.288299560546875 × 16384)
    floor (4723.5)     		ty = 4723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7358 / 4723 ti = "14/7358/4723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7358/4723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7358 ÷ 214
    7358 ÷ 16384     		x = 0.4490966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4723 ÷ 214
    4723 ÷ 16384     		y = 0.28826904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4490966796875 × 2 - 1) × π
    -0.101806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31983499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28826904296875 × 2 - 1) × π
    0.4234619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.3303448382558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31983499} λ = -0.31983499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3303448382558))-π/2
    2×atan(3.7823474608099)-π/2
    2×1.31232432437885-π/2
    2.62464864875771-1.57079632675     		φ = 1.05385232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31983499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.325195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05385232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.381290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7358 KachelY 4723 -0.31983499 1.05385232 -18.325195 60.381290
    Oben rechts KachelX + 1 7359 KachelY 4723 -0.31945150 1.05385232 -18.303223 60.381290
    Unten links KachelX 7358 KachelY + 1 4724 -0.31983499 1.05366276 -18.325195 60.370429
    Unten rechts KachelX + 1 7359 KachelY + 1 4724 -0.31945150 1.05366276 -18.303223 60.370429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05385232-1.05366276) × R
    0.000189560000000144 × 6371000     		dl = 1207.68676000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05385232-1.05366276) × R
    0.000189560000000144 × 6371000     		dr = 1207.68676000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31983499--0.31945150) × cos(1.05385232) × R
    0.000383489999999986 × 0.49422577225187 × 6371000     		do = 1207.4997163649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31983499--0.31945150) × cos(1.05366276) × R
    0.000383489999999986 × 0.49439055424619 × 6371000     		du = 1207.90231417055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05385232)-sin(1.05366276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.49422577225187-0.49439055424619)×R²
    abs(-0.31945150--0.31983499)×0.000164781994319796×R²
    0.000383489999999986×0.000164781994319796×6371000²
    0.000383489999999986×0.000164781994319796×40589641000000     		ar = 1458524.53054633m²