Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7358 / 3910
↖ ↑ ↗
← N 68.089709°
W 18.325195°		 ← 911.70 m → N 68.089709°
W 18.303223°		 →
↑
911.88 m
↓
↑
911.88 m
↓
N 68.081508°
W 18.325195°		 ← 912.02 m →
831 507 m²		 N 68.081508°
W 18.303223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449127197265625 y=0.238677978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449127197265625 × 214)
    floor (0.449127197265625 × 16384)
    floor (7358.5)     		tx = 7358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238677978515625 × 214)
    floor (0.238677978515625 × 16384)
    floor (3910.5)     		ty = 3910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7358 / 3910 ti = "14/7358/3910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7358/3910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7358 ÷ 214
    7358 ÷ 16384     		x = 0.4490966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3910 ÷ 214
    3910 ÷ 16384     		y = 0.2386474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4490966796875 × 2 - 1) × π
    -0.101806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31983499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2386474609375 × 2 - 1) × π
    0.522705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.64212643338464
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31983499} λ = -0.31983499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64212643338464))-π/2
    2×atan(5.16614330016847)-π/2
    2×1.37959296746493-π/2
    2.75918593492987-1.57079632675     		φ = 1.18838961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31983499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.325195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18838961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.089709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7358 KachelY 3910 -0.31983499 1.18838961 -18.325195 68.089709
    Oben rechts KachelX + 1 7359 KachelY 3910 -0.31945150 1.18838961 -18.303223 68.089709
    Unten links KachelX 7358 KachelY + 1 3911 -0.31983499 1.18824648 -18.325195 68.081508
    Unten rechts KachelX + 1 7359 KachelY + 1 3911 -0.31945150 1.18824648 -18.303223 68.081508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18838961-1.18824648) × R
    0.00014312999999988 × 6371000     		dl = 911.881229999237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18838961-1.18824648) × R
    0.00014312999999988 × 6371000     		dr = 911.881229999237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31983499--0.31945150) × cos(1.18838961) × R
    0.000383489999999986 × 0.373154425792441 × 6371000     		do = 911.696412050017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31983499--0.31945150) × cos(1.18824648) × R
    0.000383489999999986 × 0.373287213581963 × 6371000     		du = 912.020841141309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18838961)-sin(1.18824648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373154425792441-0.373287213581963)×R²
    abs(-0.31945150--0.31983499)×0.000132787789522026×R²
    0.000383489999999986×0.000132787789522026×6371000²
    0.000383489999999986×0.000132787789522026×40589641000000     		ar = 831506.767424903m²