Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7357 / 3886
↖ ↑ ↗
← N 68.285651°
W 18.347168°		 ← 903.96 m → N 68.285651°
W 18.325195°		 →
↑
904.11 m
↓
↑
904.11 m
↓
N 68.277521°
W 18.347168°		 ← 904.28 m →
817 426 m²		 N 68.277521°
W 18.325195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449066162109375 y=0.237213134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449066162109375 × 214)
    floor (0.449066162109375 × 16384)
    floor (7357.5)     		tx = 7357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237213134765625 × 214)
    floor (0.237213134765625 × 16384)
    floor (3886.5)     		ty = 3886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7357 / 3886 ti = "14/7357/3886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7357/3886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7357 ÷ 214
    7357 ÷ 16384     		x = 0.44903564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3886 ÷ 214
    3886 ÷ 16384     		y = 0.2371826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44903564453125 × 2 - 1) × π
    -0.1019287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32021849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2371826171875 × 2 - 1) × π
    0.525634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.65133031811169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32021849} λ = -0.32021849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65133031811169))-π/2
    2×atan(5.21391137631159)-π/2
    2×1.38130288831217-π/2
    2.76260577662434-1.57079632675     		φ = 1.19180945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32021849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.347168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19180945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.285651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7357 KachelY 3886 -0.32021849 1.19180945 -18.347168 68.285651
    Oben rechts KachelX + 1 7358 KachelY 3886 -0.31983499 1.19180945 -18.325195 68.285651
    Unten links KachelX 7357 KachelY + 1 3887 -0.32021849 1.19166754 -18.347168 68.277521
    Unten rechts KachelX + 1 7358 KachelY + 1 3887 -0.31983499 1.19166754 -18.325195 68.277521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19180945-1.19166754) × R
    0.000141909999999967 × 6371000     		dl = 904.108609999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19180945-1.19166754) × R
    0.000141909999999967 × 6371000     		dr = 904.108609999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32021849--0.31983499) × cos(1.19180945) × R
    0.000383500000000037 × 0.369979427522049 × 6371000     		do = 903.962780707017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32021849--0.31983499) × cos(1.19166754) × R
    0.000383500000000037 × 0.370111263855086 × 6371000     		du = 904.284893585046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19180945)-sin(1.19166754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369979427522049-0.370111263855086)×R²
    abs(-0.31983499--0.32021849)×0.000131836333037316×R²
    0.000383500000000037×0.000131836333037316×6371000²
    0.000383500000000037×0.000131836333037316×40589641000000     		ar = 817426.147041899m²