Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7356 / 3899
↖ ↑ ↗
← N 68.179724°
W 18.369140°		 ← 908.13 m → N 68.179724°
W 18.347168°		 →
↑
908.31 m
↓
↑
908.31 m
↓
N 68.171555°
W 18.369140°		 ← 908.46 m →
825 017 m²		 N 68.171555°
W 18.347168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449005126953125 y=0.238006591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449005126953125 × 214)
    floor (0.449005126953125 × 16384)
    floor (7356.5)     		tx = 7356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238006591796875 × 214)
    floor (0.238006591796875 × 16384)
    floor (3899.5)     		ty = 3899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7356 / 3899 ti = "14/7356/3899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7356/3899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7356 ÷ 214
    7356 ÷ 16384     		x = 0.448974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3899 ÷ 214
    3899 ÷ 16384     		y = 0.23797607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448974609375 × 2 - 1) × π
    -0.10205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32060198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23797607421875 × 2 - 1) × π
    0.5240478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.64634488055121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32060198} λ = -0.32060198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64634488055121))-π/2
    2×atan(5.18798243396503)-π/2
    2×1.38037849507929-π/2
    2.76075699015858-1.57079632675     		φ = 1.18996066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32060198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.369140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18996066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.179724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7356 KachelY 3899 -0.32060198 1.18996066 -18.369140 68.179724
    Oben rechts KachelX + 1 7357 KachelY 3899 -0.32021849 1.18996066 -18.347168 68.179724
    Unten links KachelX 7356 KachelY + 1 3900 -0.32060198 1.18981809 -18.369140 68.171555
    Unten rechts KachelX + 1 7357 KachelY + 1 3900 -0.32021849 1.18981809 -18.347168 68.171555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18996066-1.18981809) × R
    0.000142569999999953 × 6371000     		dl = 908.313469999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18996066-1.18981809) × R
    0.000142569999999953 × 6371000     		dr = 908.313469999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32060198--0.32021849) × cos(1.18996066) × R
    0.000383489999999986 × 0.371696394008098 × 6371000     		do = 908.13412723022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32060198--0.32021849) × cos(1.18981809) × R
    0.000383489999999986 × 0.371828745709089 × 6371000     		du = 908.457490863564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18996066)-sin(1.18981809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371696394008098-0.371828745709089)×R²
    abs(-0.32021849--0.32060198)×0.000132351700991185×R²
    0.000383489999999986×0.000132351700991185×6371000²
    0.000383489999999986×0.000132351700991185×40589641000000     		ar = 825017.319499374m²