Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73552 / 76592
↖ ↑ ↗
← S 29.036961°
E 22.016602°		 ← 266.98 m → S 29.036961°
E 22.019348°		 →
↑
267.01 m
↓
↑
267.01 m
↓
S 29.039362°
E 22.016602°		 ← 266.97 m →
71 285 m²		 S 29.039362°
E 22.019348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561161041259766 y=0.584354400634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561161041259766 × 217)
    floor (0.561161041259766 × 131072)
    floor (73552.5)     		tx = 73552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584354400634766 × 217)
    floor (0.584354400634766 × 131072)
    floor (76592.5)     		ty = 76592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73552 / 76592 ti = "17/73552/76592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73552/76592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73552 ÷ 217
    73552 ÷ 131072     		x = 0.5611572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76592 ÷ 217
    76592 ÷ 131072     		y = 0.5843505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5611572265625 × 2 - 1) × π
    0.122314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.38426219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5843505859375 × 2 - 1) × π
    -0.168701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.529990362199341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38426219} λ = 0.38426219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.529990362199341))-π/2
    2×atan(0.588610642563057)-π/2
    2×0.532002879359386-π/2
    1.06400575871877-1.57079632675     		φ = -0.50679057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38426219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.016602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50679057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.036961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73552 KachelY 76592 0.38426219 -0.50679057 22.016602 -29.036961
    Oben rechts KachelX + 1 73553 KachelY 76592 0.38431012 -0.50679057 22.019348 -29.036961
    Unten links KachelX 73552 KachelY + 1 76593 0.38426219 -0.50683248 22.016602 -29.039362
    Unten rechts KachelX + 1 73553 KachelY + 1 76593 0.38431012 -0.50683248 22.019348 -29.039362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50679057--0.50683248) × R
    4.19099999999784e-05 × 6371000     		dl = 267.008609999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50679057--0.50683248) × R
    4.19099999999784e-05 × 6371000     		dr = 267.008609999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38426219-0.38431012) × cos(-0.50679057) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.874306780834714 × 6371000     		do = 266.980093438308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38426219-0.38431012) × cos(-0.50683248) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.874286438054065 × 6371000     		du = 266.973881525513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50679057)-sin(-0.50683248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874306780834714-0.874286438054065)×R²
    abs(0.38431012-0.38426219)×2.03427806488854e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.03427806488854e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.03427806488854e-05×40589641000000     		ar = 71285.1543398538m²