Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7355 / 3901
↖ ↑ ↗
← N 68.163383°
W 18.391113°		 ← 908.80 m → N 68.163383°
W 18.369140°		 →
↑
908.95 m
↓
↑
908.95 m
↓
N 68.155209°
W 18.391113°		 ← 909.13 m →
826 206 m²		 N 68.155209°
W 18.369140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448944091796875 y=0.238128662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448944091796875 × 214)
    floor (0.448944091796875 × 16384)
    floor (7355.5)     		tx = 7355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238128662109375 × 214)
    floor (0.238128662109375 × 16384)
    floor (3901.5)     		ty = 3901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7355 / 3901 ti = "14/7355/3901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7355/3901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7355 ÷ 214
    7355 ÷ 16384     		x = 0.44891357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3901 ÷ 214
    3901 ÷ 16384     		y = 0.23809814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44891357421875 × 2 - 1) × π
    -0.1021728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32098548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23809814453125 × 2 - 1) × π
    0.5238037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.64557789015729
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32098548} λ = -0.32098548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64557789015729))-π/2
    2×atan(5.18400482686256)-π/2
    2×1.38023590054019-π/2
    2.76047180108038-1.57079632675     		φ = 1.18967547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32098548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.391113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18967547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.163383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7355 KachelY 3901 -0.32098548 1.18967547 -18.391113 68.163383
    Oben rechts KachelX + 1 7356 KachelY 3901 -0.32060198 1.18967547 -18.369140 68.163383
    Unten links KachelX 7355 KachelY + 1 3902 -0.32098548 1.18953280 -18.391113 68.155209
    Unten rechts KachelX + 1 7356 KachelY + 1 3902 -0.32060198 1.18953280 -18.369140 68.155209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18967547-1.18953280) × R
    0.000142670000000011 × 6371000     		dl = 908.950570000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18967547-1.18953280) × R
    0.000142670000000011 × 6371000     		dr = 908.950570000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32098548--0.32060198) × cos(1.18967547) × R
    0.000383499999999981 × 0.371961136264629 × 6371000     		do = 908.804647070893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32098548--0.32060198) × cos(1.18953280) × R
    0.000383499999999981 × 0.372093565664068 × 6371000     		du = 909.128208975311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18967547)-sin(1.18953280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371961136264629-0.372093565664068)×R²
    abs(-0.32060198--0.32098548)×0.000132429399439193×R²
    0.000383499999999981×0.000132429399439193×6371000²
    0.000383499999999981×0.000132429399439193×40589641000000     		ar = 826205.554263848m²