Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73546 / 76098
↖ ↑ ↗
← S 27.843933°
E 22.000122°		 ← 270.01 m → S 27.843933°
E 22.002868°		 →
↑
270.07 m
↓
↑
270.07 m
↓
S 27.846362°
E 22.000122°		 ← 270 m →
72 919 m²		 S 27.846362°
E 22.002868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561115264892578 y=0.580585479736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561115264892578 × 217)
    floor (0.561115264892578 × 131072)
    floor (73546.5)     		tx = 73546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580585479736328 × 217)
    floor (0.580585479736328 × 131072)
    floor (76098.5)     		ty = 76098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73546 / 76098 ti = "17/73546/76098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73546/76098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73546 ÷ 217
    73546 ÷ 131072     		x = 0.561111450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76098 ÷ 217
    76098 ÷ 131072     		y = 0.580581665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561111450195312 × 2 - 1) × π
    0.122222900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.38397457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580581665039062 × 2 - 1) × π
    -0.161163330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.506309533787033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38397457} λ = 0.38397457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506309533787033))-π/2
    2×atan(0.602715781728989)-π/2
    2×0.542414006257394-π/2
    1.08482801251479-1.57079632675     		φ = -0.48596831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38397457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.000122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48596831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.843933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73546 KachelY 76098 0.38397457 -0.48596831 22.000122 -27.843933
    Oben rechts KachelX + 1 73547 KachelY 76098 0.38402250 -0.48596831 22.002868 -27.843933
    Unten links KachelX 73546 KachelY + 1 76099 0.38397457 -0.48601070 22.000122 -27.846362
    Unten rechts KachelX + 1 73547 KachelY + 1 76099 0.38402250 -0.48601070 22.002868 -27.846362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48596831--0.48601070) × R
    4.23900000000033e-05 × 6371000     		dl = 270.066690000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48596831--0.48601070) × R
    4.23900000000033e-05 × 6371000     		dr = 270.066690000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38397457-0.38402250) × cos(-0.48596831) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.884223100216223 × 6371000     		do = 270.008160854772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38397457-0.38402250) × cos(-0.48601070) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.884203300545755 × 6371000     		du = 270.002114787204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48596831)-sin(-0.48601070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884223100216223-0.884203300545755)×R²
    abs(0.38402250-0.38397457)×1.97996704687231e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.97996704687231e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.97996704687231e-05×40589641000000     		ar = 72919.3938651798m²