Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73540 / 76108
↖ ↑ ↗
← S 27.868217°
E 21.983642°		 ← 270 m → S 27.868217°
E 21.986389°		 →
↑
269.94 m
↓
↑
269.94 m
↓
S 27.870644°
E 21.983642°		 ← 270 m →
72 884 m²		 S 27.870644°
E 21.986389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561069488525391 y=0.580661773681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561069488525391 × 217)
    floor (0.561069488525391 × 131072)
    floor (73540.5)     		tx = 73540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580661773681641 × 217)
    floor (0.580661773681641 × 131072)
    floor (76108.5)     		ty = 76108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73540 / 76108 ti = "17/73540/76108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73540/76108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73540 ÷ 217
    73540 ÷ 131072     		x = 0.561065673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76108 ÷ 217
    76108 ÷ 131072     		y = 0.580657958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561065673828125 × 2 - 1) × π
    0.12213134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.38368694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580657958984375 × 2 - 1) × π
    -0.16131591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.506788902783234
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38368694} λ = 0.38368694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506788902783234))-π/2
    2×atan(0.602426927709069)-π/2
    2×0.542202095418155-π/2
    1.08440419083631-1.57079632675     		φ = -0.48639214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38368694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.983642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48639214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.868217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73540 KachelY 76108 0.38368694 -0.48639214 21.983642 -27.868217
    Oben rechts KachelX + 1 73541 KachelY 76108 0.38373488 -0.48639214 21.986389 -27.868217
    Unten links KachelX 73540 KachelY + 1 76109 0.38368694 -0.48643451 21.983642 -27.870644
    Unten rechts KachelX + 1 73541 KachelY + 1 76109 0.38373488 -0.48643451 21.986389 -27.870644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48639214--0.48643451) × R
    4.23700000000138e-05 × 6371000     		dl = 269.939270000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48639214--0.48643451) × R
    4.23700000000138e-05 × 6371000     		dr = 269.939270000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38368694-0.38373488) × cos(-0.48639214) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.884025064738971 × 6371000     		do = 270.004009576584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38368694-0.38373488) × cos(-0.48643451) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.88400525853391 × 6371000     		du = 269.997960251746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48639214)-sin(-0.48643451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884025064738971-0.88400525853391)×R²
    abs(0.38373488-0.38368694)×1.98062050609238e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.98062050609238e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.98062050609238e-05×40589641000000     		ar = 72883.8687779467m²