Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73535 / 76569
↖ ↑ ↗
← S 28.981714°
E 21.969910°		 ← 267.18 m → S 28.981714°
E 21.972656°		 →
↑
267.20 m
↓
↑
267.20 m
↓
S 28.984117°
E 21.969910°		 ← 267.17 m →
71 389 m²		 S 28.984117°
E 21.972656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561031341552734 y=0.584178924560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561031341552734 × 217)
    floor (0.561031341552734 × 131072)
    floor (73535.5)     		tx = 73535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584178924560547 × 217)
    floor (0.584178924560547 × 131072)
    floor (76569.5)     		ty = 76569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73535 / 76569 ti = "17/73535/76569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73535/76569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73535 ÷ 217
    73535 ÷ 131072     		x = 0.561027526855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76569 ÷ 217
    76569 ÷ 131072     		y = 0.584175109863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561027526855469 × 2 - 1) × π
    0.122055053710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.38344726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584175109863281 × 2 - 1) × π
    -0.168350219726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.52888781350808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38344726} λ = 0.38344726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.52888781350808))-π/2
    2×atan(0.589259972349753)-π/2
    2×0.53248499117283-π/2
    1.06496998234566-1.57079632675     		φ = -0.50582634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38344726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.969910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50582634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.981714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73535 KachelY 76569 0.38344726 -0.50582634 21.969910 -28.981714
    Oben rechts KachelX + 1 73536 KachelY 76569 0.38349520 -0.50582634 21.972656 -28.981714
    Unten links KachelX 73535 KachelY + 1 76570 0.38344726 -0.50586828 21.969910 -28.984117
    Unten rechts KachelX + 1 73536 KachelY + 1 76570 0.38349520 -0.50586828 21.972656 -28.984117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50582634--0.50586828) × R
    4.19399999999071e-05 × 6371000     		dl = 267.199739999408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50582634--0.50586828) × R
    4.19399999999071e-05 × 6371000     		dr = 267.199739999408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38344726-0.38349520) × cos(-0.50582634) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.874774386230375 × 6371000     		do = 267.178614247283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38344726-0.38349520) × cos(-0.50586828) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.874754064253258 × 6371000     		du = 267.172407392384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50582634)-sin(-0.50586828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874774386230375-0.874754064253258)×R²
    abs(0.38349520-0.38344726)×2.03219771170993e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.03219771170993e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.03219771170993e-05×40589641000000     		ar = 71389.227035781m²