Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73533 / 76570
↖ ↑ ↗
← S 28.984117°
E 21.964417°		 ← 267.12 m → S 28.984117°
E 21.967163°		 →
↑
267.14 m
↓
↑
267.14 m
↓
S 28.986520°
E 21.964417°		 ← 267.11 m →
71 356 m²		 S 28.986520°
E 21.967163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561016082763672 y=0.584186553955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561016082763672 × 217)
    floor (0.561016082763672 × 131072)
    floor (73533.5)     		tx = 73533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584186553955078 × 217)
    floor (0.584186553955078 × 131072)
    floor (76570.5)     		ty = 76570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73533 / 76570 ti = "17/73533/76570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73533/76570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73533 ÷ 217
    73533 ÷ 131072     		x = 0.561012268066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76570 ÷ 217
    76570 ÷ 131072     		y = 0.584182739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561012268066406 × 2 - 1) × π
    0.122024536132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.38335139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584182739257812 × 2 - 1) × π
    -0.168365478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.5289357504077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38335139} λ = 0.38335139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.5289357504077))-π/2
    2×atan(0.589231725730641)-π/2
    2×0.532464024430413-π/2
    1.06492804886083-1.57079632675     		φ = -0.50586828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38335139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.964417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50586828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.984117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73533 KachelY 76570 0.38335139 -0.50586828 21.964417 -28.984117
    Oben rechts KachelX + 1 73534 KachelY 76570 0.38339932 -0.50586828 21.967163 -28.984117
    Unten links KachelX 73533 KachelY + 1 76571 0.38335139 -0.50591021 21.964417 -28.986520
    Unten rechts KachelX + 1 73534 KachelY + 1 76571 0.38339932 -0.50591021 21.967163 -28.986520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50586828--0.50591021) × R
    4.19300000000788e-05 × 6371000     		dl = 267.136030000502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50586828--0.50591021) × R
    4.19300000000788e-05 × 6371000     		dr = 267.136030000502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38335139-0.38339932) × cos(-0.50586828) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.874754064253258 × 6371000     		do = 267.116676810979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38335139-0.38339932) × cos(-0.50591021) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.874733745583519 × 6371000     		du = 267.110472260741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50586828)-sin(-0.50591021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874754064253258-0.874733745583519)×R²
    abs(0.38339932-0.38335139)×2.03186697392832e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.03186697392832e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.03186697392832e-05×40589641000000     		ar = 71355.6598711261m²