Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73531 / 56000
↖ ↑ ↗
← N 25.324167°
E 21.958923°		 ← 276.08 m → N 25.324167°
E 21.961670°		 →
↑
276.06 m
↓
↑
276.06 m
↓
N 25.321684°
E 21.958923°		 ← 276.08 m →
76 213 m²		 N 25.321684°
E 21.961670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561000823974609 y=0.427249908447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561000823974609 × 217)
    floor (0.561000823974609 × 131072)
    floor (73531.5)     		tx = 73531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427249908447266 × 217)
    floor (0.427249908447266 × 131072)
    floor (56000.5)     		ty = 56000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73531 / 56000 ti = "17/73531/56000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73531/56000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73531 ÷ 217
    73531 ÷ 131072     		x = 0.560997009277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56000 ÷ 217
    56000 ÷ 131072     		y = 0.42724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560997009277344 × 2 - 1) × π
    0.121994018554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.38325551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42724609375 × 2 - 1) × π
    0.1455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.457126274776855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38325551} λ = 0.38325551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.457126274776855))-π/2
    2×atan(1.57952832624386)-π/2
    2×1.00639320649028-π/2
    2.01278641298055-1.57079632675     		φ = 0.44199009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38325551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.958923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44199009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.324167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73531 KachelY 56000 0.38325551 0.44199009 21.958923 25.324167
    Oben rechts KachelX + 1 73532 KachelY 56000 0.38330345 0.44199009 21.961670 25.324167
    Unten links KachelX 73531 KachelY + 1 56001 0.38325551 0.44194676 21.958923 25.321684
    Unten rechts KachelX + 1 73532 KachelY + 1 56001 0.38330345 0.44194676 21.961670 25.321684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44199009-0.44194676) × R
    4.33300000000081e-05 × 6371000     		dl = 276.055430000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44199009-0.44194676) × R
    4.33300000000081e-05 × 6371000     		dr = 276.055430000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38325551-0.38330345) × cos(0.44199009) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.903902214294465 × 6371000     		do = 276.075002688345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38325551-0.38330345) × cos(0.44194676) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.903920747383627 × 6371000     		du = 276.080663170816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44199009)-sin(0.44194676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903902214294465-0.903920747383627)×R²
    abs(0.38330345-0.38325551)×1.85330891623314e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85330891623314e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85330891623314e-05×40589641000000     		ar = 76212.7848947743m²